Страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.1 Постройте график функции $y = x^2 - 4x + 3$. С помощью графика решите неравенство:

а) $x^2 - 4x + 3 > 0;$

б) $x^2 - 4x + 3 \le 0;$

в) $x^2 - 4x + 3 < 0;$

г) $x^2 - 4x + 3 \ge 0.$

Для решения задачи сначала построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=-4, c=3$.
$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ордината вершины — это значение функции в точке $x_в$:
$y_в = y(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

2. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью ординат (Oy): $x=0$.
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox): $y=0$.
$x^2 - 4x + 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Построение графика.
Мы имеем следующие ключевые точки: вершина $(2, -1)$, точки пересечения с осью Ox $(1, 0)$ и $(3, 0)$, точка пересечения с осью Oy $(0, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. График представляет собой параболу с ветвями вверх, проходящую через эти точки.

Теперь с помощью построенного графика решим неравенства.

а) $x^2 - 4x + 3 > 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 3$ находится выше оси абсцисс (Ox), то есть где $y > 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервалах левее точки $x=1$ и правее точки $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $x^2 - 4x + 3 \leq 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или ниже неё, то есть где $y \leq 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на отрезке между точками $x=1$ и $x=3$, включая сами эти точки.
Ответ: $x \in [1, 3]$.

в) $x^2 - 4x + 3 < 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится строго ниже оси абсцисс, то есть где $y < 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервале между точками $x=1$ и $x=3$, не включая сами эти точки.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) $x^2 - 4x + 3 \geq 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или выше неё, то есть где $y \geq 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на промежутках левее точки $x=1$ и правее точки $x=3$, включая сами эти точки.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Решите неравенство:

37.2 а) $x^2 - 6x - 7 > 0;$

б) $x^2 + 2x - 48 \le 0;$

в) $x^2 + 4x + 3 \ge 0;$

г) $x^2 - 12x - 45 < 0.$

а) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно использовать теорему Виета, или общую формулу корней.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 7$.

Неравенство $x^2 - 6x - 7 > 0$ выполняется, когда значения функции положительны, то есть когда график функции находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (7; \infty)$.

б) $x^2 + 2x - 48 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -8$ и $x = 6$.

Неравенство $x^2 + 2x - 48 \le 0$ выполняется, когда значения функции неположительны, то есть когда график функции находится ниже или на оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.

в) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.

Неравенство $x^2 + 4x + 3 \ge 0$ выполняется, когда значения функции неотрицательны, то есть когда график функции находится выше или на оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -3$ или $x \ge -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; \infty)$.

г) $x^2 - 12x - 45 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 18}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = x^2 - 12x - 45$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 15$.

Неравенство $x^2 - 12x - 45 < 0$ выполняется, когда значения функции отрицательны, то есть когда график функции находится ниже оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 15$.

Ответ: $x \in (-3; 15)$.

37.3 а) $-x^2 + 6x - 5 < 0;$

б) $-x^2 - 2x + 8 \ge 0;$

в) $-x^2 + 16x - 28 > 0;$

г) $-x^2 + 4x - 3 \le 0.$

a)

Решим неравенство $-x^2 + 6x - 5 < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 5$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Следовательно, функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$

б)

Решим неравенство $-x^2 - 2x + 8 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-4 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-4; 2]$

в)

Решим неравенство $-x^2 + 16x - 28 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 16x + 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 16x + 28 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 = 12^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = 14$

Графиком функции $y = x^2 - 16x + 28$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $2 < x < 14$.

Ответ: $x \in (2; 14)$

г)

Решим неравенство $-x^2 + 4x - 3 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$

37.4 а) $2x^2 - x - 6 > 0;$

б) $3x^2 - 7x + 4 \le 0;$

в) $2x^2 + 3x + 1 < 0;$

г) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0.$

а) $2x^2 - x - 6 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Графиком функции $y = 2x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2$ положителен. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -1.5$ и $x = 2$.

Неравенство $2x^2 - x - 6 > 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси Ох. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (2; +\infty)$.

б) $3x^2 - 7x + 4 \le 0$

Решим это неравенство, найдя корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$), пересекающая ось Ох в точках $x=1$ и $x=\frac{4}{3}$.

Неравенство $3x^2 - 7x + 4 \le 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ох или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

в) $2x^2 + 3x + 1 < 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x + 1$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Корни, где парабола пересекает ось Ох, равны $x=-1$ и $x=-0.5$.

Неравенство $2x^2 + 3x + 1 < 0$ выполняется, когда график функции находится строго ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; -0.5)$.

г) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$
$x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Парабола $y = 5x^2 - 11x + 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$), и пересекает ось Ох в точках $x=0.2$ и $x=2$.

Неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ох или выше нее. Это происходит на лучах левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2] \cup [2; +\infty)$.

37.5 а) $-5x^2 + 4x + 1 > 0;$

б) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0;$

в) $-6x^2 + 13x + 5 < 0;$

г) $-3x^2 + 5x - 2 \ge 0.$

а) Решим неравенство $-5x^2 + 4x + 1 > 0$.

Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-5x^2 + 4x + 1 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 6}{10}$.

$x_1 = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -0.2$

$x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Исходное неравенство $-5x^2 + 4x + 1 > 0$ описывает параболу, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент $a=-5 < 0$). Следовательно, квадратичная функция принимает положительные значения между корнями.

Ответ: $x \in (-0.2; 1)$.

б) Решим неравенство $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$.

Найдем корни уравнения $-2x^2 - 5x + 18 = 0$. Умножим на $-1$: $2x^2 + 5x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 13}{4}$.

$x_1 = \frac{-5 - 13}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = -2x^2 - 5x + 18$ направлены вниз ($a=-2 < 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) на промежутках вне интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; \infty)$.

в) Решим неравенство $-6x^2 + 13x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $-6x^2 + 13x + 5 = 0$. Умножим на $-1$: $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 17}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 17}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ветви параболы $y = -6x^2 + 13x + 5$ направлены вниз ($a=-6 < 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) на промежутках вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2.5; \infty)$.

г) Решим неравенство $-3x^2 + 5x - 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $-3x^2 + 5x - 2 = 0$. Умножим на $-1$: $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ветви параболы $y = -3x^2 + 5x - 2$ направлены вниз ($a=-3 < 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 1]$.

37.6 a) $6x^2 > 5x - 1;$

б) $-5x^2 < 6 - 11x;$

в) $-2x^2 + x \le -6;$

г) $5x^2 \ge 4 - 8x.$

а) $6x^2 > 5x - 1$
Для решения квадратного неравенства сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c > 0$. Перенесем все члены в левую часть:
$6x^2 - 5x + 1 > 0$
Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Графиком функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=6$ положителен. Неравенство $6x^2 - 5x + 1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси абсцисс, то есть на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $-5x^2 < 6 - 11x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:
$-5x^2 + 11x - 6 < 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$5x^2 - 11x + 6 > 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 6 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 6$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.

в) $-2x^2 + x \le -6$
Перенесем все члены в левую часть:
$-2x^2 + x + 6 \le 0$
Умножим неравенство на -1, поменяв знак на противоположный:
$2x^2 - x - 6 \ge 0$
Решим соответствующее уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $2x^2 - x - 6 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит в точках-корнях, а также левее меньшего корня и правее большего.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [2; +\infty)$.

г) $5x^2 \ge 4 - 8x$
Приведем неравенство к стандартному виду:
$5x^2 + 8x - 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Ветви параболы $y = 5x^2 + 8x - 4$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 + 8x - 4 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее, то есть включая корни и за их пределами.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{2}{5}; +\infty)$.

37.7 a) $x^2 - 6x + 9 \le 0;$

б) $-x^2 + 12x - 36 > 0;$

в) $x^2 - 16x + 64 \ge 0;$

г) $-x^2 + 4x - 4 < 0.$

а) Дано неравенство $x^2 - 6x + 9 \le 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности, так как $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(x-3)^2 \le 0$. Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x-3)^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=3$.

Ответ: $3$.

б) Дано неравенство $-x^2 + 12x - 36 > 0$. Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 12x + 36 < 0$. Левая часть представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2$. Неравенство принимает вид $(x-6)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, это неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) Дано неравенство $x^2 - 16x + 64 \ge 0$. Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x-8)^2$. Неравенство можно переписать в виде $(x-8)^2 \ge 0$. Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), это неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $-x^2 + 4x - 4 < 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, не забыв изменить знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 > 0$. Левая часть - это полный квадрат разности: $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 > 0$. Квадрат действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. В данном случае $(x-2)^2=0$ при $x=2$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(x-2)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

37.8 a) $25x^2 + 30x + 9 \ge 0;$

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0;$

в) $-4x^2 + 12x - 9 > 0;$

г) $36x^2 + 12x + 1 \le 0.$

a) $25x^2 + 30x + 9 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$25x^2 + 30x + 9 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 3 + 3^2 = (5x+3)^2$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(5x+3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Левая часть является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x-2)^2$

Неравенство принимает вид:

$(3x-2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, только если выражение в скобках равно нулю, и строго положителен во всех остальных случаях. Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:

$3x-2=0$

$3x=2$

$x = \frac{2}{3}$

Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

в) $-4x^2 + 12x - 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства:

$4x^2 - 12x + 9 < 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(2x-3)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Он не может быть строго меньше нуля. Таким образом, у этого неравенства нет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

г) $36x^2 + 12x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:

$36x^2 + 12x + 1 = (6x)^2 + 2 \cdot (6x) \cdot 1 + 1^2 = (6x+1)^2$

Неравенство можно переписать как:

$(6x+1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это означает, что выражение $(6x+1)^2$ не может быть строго меньше нуля. Единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда выражение равно нулю:

$(6x+1)^2 = 0$

$6x+1 = 0$

$6x = -1$

$x = -\frac{1}{6}$

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.