Номер 36.31, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 36. Решение линейных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 36.31, страница 204.

Условие.

36.31 a)

$\frac{2x-1}{3} + \frac{5x+7}{2} < 4;$

б) $\frac{3x+2}{5} - \frac{2x-4}{3} > 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{2x - 1}{3} + \frac{5x + 7}{2} < 4$, необходимо избавиться от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{2x - 1}{3} + \frac{5x + 7}{2}\right) < 6 \cdot 4$
$6 \cdot \frac{2x - 1}{3} + 6 \cdot \frac{5x + 7}{2} < 24$
$2(2x - 1) + 3(5x + 7) < 24$
Теперь раскроем скобки:
$4x - 2 + 15x + 21 < 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(4x + 15x) + (-2 + 21) < 24$
$19x + 19 < 24$
Перенесем слагаемое 19 из левой части в правую, изменив его знак:
$19x < 24 - 19$
$19x < 5$
Разделим обе части неравенства на 19:
$x < \frac{5}{19}$
Ответ: $x < \frac{5}{19}$.

б) Чтобы решить неравенство $\frac{3x + 2}{5} - \frac{2x - 4}{3} > 7$, так же, как и в предыдущем примере, избавимся от знаменателей. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 3 равно 15. Умножим обе части неравенства на 15. Знак неравенства сохранится.
$15 \cdot \left(\frac{3x + 2}{5} - \frac{2x - 4}{3}\right) > 15 \cdot 7$
$15 \cdot \frac{3x + 2}{5} - 15 \cdot \frac{2x - 4}{3} > 105$
$3(3x + 2) - 5(2x - 4) > 105$
Раскроем скобки. Важно обратить внимание, что перед второй дробью стоял знак минус, поэтому при умножении на -5 знаки в скобках изменятся:
$9x + 6 - 10x + 20 > 105$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x - 10x) + (6 + 20) > 105$
$-x + 26 > 105$
Перенесем слагаемое 26 в правую часть с противоположным знаком:
$-x > 105 - 26$
$-x > 79$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -79$
Ответ: $x < -79$.