Номер 36.25, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 36. Решение линейных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 36.25, страница 203.

Условие.

36.25 а) При каких значениях переменной произведение выражений $3x + 8$ и $x + 12$ больше утроенного квадрата второго множителя?

б) При каких значениях переменной произведение выражений $2x + 5$ и $8x - 15$ меньше квадрата выражения $4x - 3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти значения переменной, при которых произведение выражений $3x + 8$ и $x + 12$ больше утроенного квадрата второго множителя, составим и решим неравенство:

$(3x + 8)(x + 12) > 3(x + 12)^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$(3x + 8)(x + 12) - 3(x + 12)^2 > 0$

Вынесем общий множитель $(x + 12)$ за скобки:

$(x + 12) \cdot ((3x + 8) - 3(x + 12)) > 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки и упростим выражение:

$(x + 12) \cdot (3x + 8 - 3x - 36) > 0$

$(x + 12) \cdot (-28) > 0$

Разделим обе части неравенства на $-28$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 12 < 0$

$x < -12$

Следовательно, произведение больше утроенного квадрата второго множителя при $x \in (-\infty; -12)$.

Ответ: $x < -12$

б)

Чтобы найти значения переменной, при которых произведение выражений $2x + 5$ и $8x - 15$ меньше квадрата выражения $4x - 3$, составим и решим неравенство:

$(2x + 5)(8x - 15) < (4x - 3)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$2x \cdot 8x - 2x \cdot 15 + 5 \cdot 8x - 5 \cdot 15 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2$

$16x^2 - 30x + 40x - 75 < 16x^2 - 24x + 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$16x^2 + 10x - 75 < 16x^2 - 24x + 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$16x^2 - 16x^2 + 10x + 24x < 9 + 75$

Упростим обе части:

$34x < 84$

Разделим обе части на 34:

$x < \frac{84}{34}$

Сократим дробь:

$x < \frac{42}{17}$

Следовательно, произведение меньше квадрата указанного выражения при $x \in (-\infty; \frac{42}{17})$.

Ответ: $x < \frac{42}{17}$