Номер 36.27, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 36. Решение линейных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 36.27, страница 203.

Условие.

36.27 a) $0.2m^2 - 0.2(m - 6)(m + 6) > 3.6m;$

б) $(12n - 1)(3n + 1) < 1 + (6n + 2)^2;$

в) $(2p - 5)^2 - 0.5p < (2p - 1)(2p + 1) - 15;$

г) $(4q - 1)^2 > (2q + 3)(8q - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано неравенство $0,2m^2 - 0,2(m - 6)(m + 6) > 3,6m$.

Для упрощения левой части воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения $(m-6)(m+6)$.

$(m-6)(m+6) = m^2 - 6^2 = m^2 - 36$.

Подставим результат в неравенство:

$0,2m^2 - 0,2(m^2 - 36) > 3,6m$

Теперь раскроем скобки:

$0,2m^2 - 0,2m^2 + 0,2 \cdot 36 > 3,6m$

Упростим левую часть. Члены $0,2m^2$ и $-0,2m^2$ взаимно уничтожаются.

$7,2 > 3,6m$

Чтобы найти $m$, разделим обе части неравенства на $3,6$. Поскольку $3,6$ — положительное число, знак неравенства не изменяется.

$\frac{7,2}{3,6} > m$

$2 > m$, или $m < 2$.

Ответ: $m \in (-\infty; 2)$.

б)

Дано неравенство $(12n - 1)(3n + 1) < 1 + (6n + 2)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим многочлены. В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Левая часть: $(12n - 1)(3n + 1) = 36n^2 + 12n - 3n - 1 = 36n^2 + 9n - 1$.

Правая часть: $1 + (6n + 2)^2 = 1 + (36n^2 + 2 \cdot 6n \cdot 2 + 4) = 1 + 36n^2 + 24n + 4 = 36n^2 + 24n + 5$.

Неравенство принимает вид:

$36n^2 + 9n - 1 < 36n^2 + 24n + 5$

Члены $36n^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $n$ в одну сторону, а константы — в другую.

$9n - 24n < 5 + 1$

$-15n < 6$

Разделим обе части на $-15$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$n > \frac{6}{-15}$

Сократим дробь: $n > -\frac{2}{5}$, или $n > -0,4$.

Ответ: $n \in (-0,4; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $(2p - 5)^2 - 0,5p < (2p - 1)(2p + 1) - 15$.

Раскроем скобки. В левой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой — формулу разности квадратов.

Левая часть: $(2p - 5)^2 - 0,5p = (4p^2 - 2 \cdot 2p \cdot 5 + 25) - 0,5p = 4p^2 - 20p + 25 - 0,5p = 4p^2 - 20,5p + 25$.

Правая часть: $(2p - 1)(2p + 1) - 15 = (4p^2 - 1) - 15 = 4p^2 - 16$.

Неравенство принимает вид:

$4p^2 - 20,5p + 25 < 4p^2 - 16$

Члены $4p^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем константы в правую часть.

$-20,5p < -16 - 25$

$-20,5p < -41$

Разделим обе части на $-20,5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$p > \frac{-41}{-20,5}$

$p > 2$

Ответ: $p \in (2; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $(4q - 1)^2 > (2q + 3)(8q - 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(4q - 1)^2 = 16q^2 - 2 \cdot 4q \cdot 1 + 1^2 = 16q^2 - 8q + 1$.

Правая часть: $(2q + 3)(8q - 1) = 16q^2 - 2q + 24q - 3 = 16q^2 + 22q - 3$.

Неравенство принимает вид:

$16q^2 - 8q + 1 > 16q^2 + 22q - 3$

Члены $16q^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $q$ в правую часть, а константы — в левую.

$1 + 3 > 22q + 8q$

$4 > 30q$

Разделим обе части на $30$. Знак неравенства не меняется.

$\frac{4}{30} > q$

Сократим дробь: $\frac{2}{15} > q$, или $q < \frac{2}{15}$.

Ответ: $q \in (-\infty; \frac{2}{15})$.