Номер 37.35, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.35, страница 208.

Условие.

37.35 а) Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 10x < -12$.

б) Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $3x^2 + 5x \le 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 10x < -12$, сначала приведем его к стандартному виду.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 10x + 12 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 10x + 12 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции $y = x^2 + 10x + 12$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 100 - 48 = 52$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -5 \pm \sqrt{13}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -5 - \sqrt{13}$ и $x_2 = -5 + \sqrt{13}$.

Графиком функции $y = x^2 + 10x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-5 - \sqrt{13}; -5 + \sqrt{13})$.

Чтобы найти целочисленные решения, оценим границы интервала. Мы знаем, что $3 < \sqrt{13} < 4$ (поскольку $3^2=9$ и $4^2=16$).

Оценим левую границу: $-5 - 4 < -5 - \sqrt{13} < -5 - 3$, то есть $-9 < -5 - \sqrt{13} < -8$.

Оценим правую границу: $-5 + 3 < -5 + \sqrt{13} < -5 + 4$, то есть $-2 < -5 + \sqrt{13} < -1$.

Значит, решение неравенства лежит в интервале, который примерно равен $(-8.6; -1.4)$.

Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2.

Наименьшее из этих целых чисел — это -8.

Ответ: -8

---

б) Чтобы найти наибольшее целочисленное решение неравенства $3x^2 + 5x \le 4$, приведем его к стандартному виду.

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 5x - 4 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 25 + 48 = 73$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{73}}{6}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{73}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Решением неравенства является отрезок $[\frac{-5 - \sqrt{73}}{6}; \frac{-5 + \sqrt{73}}{6}]$.

Чтобы найти целочисленные решения, оценим границы отрезка. Мы знаем, что $8 < \sqrt{73} < 9$ (поскольку $8^2=64$ и $9^2=81$).

Оценим левую границу: $\frac{-5 - 9}{6} < \frac{-5 - \sqrt{73}}{6} < \frac{-5 - 8}{6}$, то есть $\frac{-14}{6} < x_1 < \frac{-13}{6}$, или примерно $-2.33 < x_1 < -2.16$.

Оценим правую границу: $\frac{-5 + 8}{6} < \frac{-5 + \sqrt{73}}{6} < \frac{-5 + 9}{6}$, то есть $\frac{3}{6} < x_2 < \frac{4}{6}$, или $0.5 < x_2 < 0.67$.

Значит, решение неравенства лежит в отрезке, который примерно равен $[-2.25; 0.58]$.

Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -2, -1, 0.

Наибольшее из этих целых чисел — это 0.

Ответ: 0