Номер 37.41, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.41, страница 209.

Условие.

37.41 Найдите все значения параметра p, при которых имеет действительные корни уравнение:

a) $3px^2 - 6px + 13 = 0;$

б) $(1 - 3p)x^2 - 4x - 3 = 0;$

в) $px^2 - 3px - 2 = 0;$

г) $(p - 1)x^2 - (2p - 3)x + p + 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо рассмотреть два случая для каждого пункта. Уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни, если оно является квадратным (коэффициент $A \neq 0$) и его дискриминант $D = B^2 - 4AC \ge 0$, либо если оно вырождается в линейное ($A = 0$) и имеет решение.

а) $3px^2 - 6px + 13 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $3p = 0$, то есть $p = 0$.
При $p = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 13 = 0$, или $13 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $p=0$ уравнение корней не имеет.

2. Рассмотрим случай, когда $3p \neq 0$, то есть $p \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Для наличия действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.
$D = (-6p)^2 - 4 \cdot (3p) \cdot 13 = 36p^2 - 156p$.
Решим неравенство: $36p^2 - 156p \ge 0$.
Вынесем общий множитель: $12p(3p - 13) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $12p(3p - 13) = 0$: $p_1 = 0$ и $p_2 = \frac{13}{3}$.
Методом интервалов получаем, что неравенство выполняется при $p \in (-\infty, 0] \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.
Учитывая, что в данном случае $p \neq 0$, получаем $p \in (-\infty, 0) \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.

б) $(1-3p)x^2 - 4x - 3 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $1 - 3p = 0$, то есть $p = 1/3$.
При $p = 1/3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 4x - 3 = 0$, или $-4x = 3$.
Это линейное уравнение имеет один действительный корень $x = -3/4$. Следовательно, $p = 1/3$ является решением.

2. Рассмотрим случай, когда $1 - 3p \neq 0$, то есть $p \neq 1/3$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot (1 - 3p) \cdot (-3) = 16 + 12(1 - 3p) = 16 + 12 - 36p = 28 - 36p$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$28 - 36p \ge 0$
$28 \ge 36p$
$p \le \frac{28}{36}$
$p \le \frac{7}{9}$.
С учетом условия $p \neq 1/3$, получаем $p \in (-\infty, 1/3) \cup (1/3, 7/9]$.

Объединяя результаты из обоих случаев (значение $p=1/3$ из первого случая и интервалы из второго), получаем $p \in (-\infty, 7/9]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 7/9]$.

в) $px^2 - 3px - 2 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p = 0$.
При $p = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x - 2 = 0$, или $-2 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $p=0$ уравнение корней не имеет.

2. Рассмотрим случай, когда $p \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-3p)^2 - 4 \cdot p \cdot (-2) = 9p^2 + 8p$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$9p^2 + 8p \ge 0$
$p(9p + 8) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $p(9p + 8) = 0$: $p_1 = 0$ и $p_2 = -8/9$.
Методом интервалов получаем $p \in (-\infty, -8/9] \cup [0, +\infty)$.
Учитывая, что в данном случае $p \neq 0$, получаем $p \in (-\infty, -8/9] \cup (0, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $p \in (-\infty, -8/9] \cup (0, +\infty)$.

г) $(p-1)x^2 - (2p-3)x + p + 5 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p - 1 = 0$, то есть $p = 1$.
При $p = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - (2 \cdot 1 - 3)x + 1 + 5 = 0$, или $-(-1)x + 6 = 0$, то есть $x + 6 = 0$.
Это линейное уравнение имеет один действительный корень $x = -6$. Следовательно, $p = 1$ является решением.

2. Рассмотрим случай, когда $p - 1 \neq 0$, то есть $p \neq 1$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-(2p-3))^2 - 4(p-1)(p+5) = (2p-3)^2 - 4(p^2+4p-5)$.
$D = (4p^2 - 12p + 9) - (4p^2 + 16p - 20) = 4p^2 - 12p + 9 - 4p^2 - 16p + 20 = -28p + 29$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$-28p + 29 \ge 0$
$29 \ge 28p$
$p \le \frac{29}{28}$.
С учетом условия $p \neq 1$, получаем $p \in (-\infty, 1) \cup (1, 29/28]$.

Объединяя результаты из обоих случаев (значение $p=1$ из первого случая и интервалы из второго), получаем $p \in (-\infty, 29/28]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 29/28]$.