Номер 37.46, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.46, страница 209.

Условие.

37.46 Две группы туристов вышли с турбазы по направлениям, которые образуют прямой угол. Первая группа шла со скоростью 4 км/ч, а вторая со скоростью 5 км/ч. Группы поддерживали связь по радио, причём переговариваться можно было на расстоянии не более чем 13 км. Какое время после выхода второй группы могли поддерживать между собой связь туристы, если известно, что вторая группа вышла на маршрут через 2 ч после первой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $t$ — это время в часах, прошедшее с момента выхода второй группы. Скорость первой группы $v_1 = 4$ км/ч, а скорость второй группы $v_2 = 5$ км/ч.

Вторая группа вышла на 2 часа позже первой. Это означает, что к моменту времени $t$ (считая от выхода второй группы) первая группа была в пути $(t+2)$ часа, а вторая — $t$ часов.

Расстояние $S_1$, которое прошла первая группа, вычисляется как $S_1 = v_1 \cdot (t+2) = 4(t+2)$ км.

Расстояние $S_2$, которое прошла вторая группа, равно $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Так как группы двигались по направлениям, образующим прямой угол, их положения относительно турбазы можно рассматривать как вершины прямоугольного треугольника. Расстояния $S_1$ и $S_2$ являются катетами этого треугольника, а расстояние $d$ между группами — его гипотенузой. По теореме Пифагора: $d^2 = S_1^2 + S_2^2$

Согласно условию, радиосвязь возможна на расстоянии не более 13 км. Математически это выражается неравенством $d \le 13$. Возведя обе части в квадрат, получаем $d^2 \le 13^2$, то есть $d^2 \le 169$.

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в неравенство: $(4(t+2))^2 + (5t)^2 \le 169$

Теперь решим это неравенство. Раскроем скобки: $16(t^2 + 4t + 4) + 25t^2 \le 169$ $16t^2 + 64t + 64 + 25t^2 \le 169$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть: $41t^2 + 64t + 64 - 169 \le 0$ $41t^2 + 64t - 105 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $41t^2 + 64t - 105 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 64^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-105) = 4096 + 17220 = 21316$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{21316} = 146$.

Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-64 + 146}{2 \cdot 41} = \frac{82}{82} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-64 - 146}{2 \cdot 41} = \frac{-210}{82} = -\frac{105}{41}$

Графиком функции $y = 41t^2 + 64t - 105$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен). Значит, неравенство $41t^2 + 64t - 105 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $t \in [-\frac{105}{41}, 1]$.

Поскольку время $t$ по смыслу задачи не может быть отрицательным ($t \ge 0$), то из полученного интервала нам подходит только отрезок $[0, 1]$.

Таким образом, туристы могли поддерживать связь в течение промежутка времени от $t=0$ до $t=1$ часа после выхода второй группы. Продолжительность этого времени составляет $1 - 0 = 1$ час.

Ответ: 1 час.