Номер 37.44, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.44, страница 209.

Условие.

37.44 Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Чему равна длина прямоугольника, если известно, что его площадь не превосходит 224 $см^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть длина прямоугольника равна $l$ см.

Согласно условию, длина на 2 см больше ширины, значит, ширина прямоугольника равна $(l - 2)$ см.

Поскольку и длина, и ширина должны быть положительными величинами, на длину $l$ накладываются следующие ограничения:
1. $l > 0$ (длина положительна).
2. $l - 2 > 0 \implies l > 2$ (ширина положительна).
Объединяя эти условия, получаем, что длина должна быть строго больше 2 см ($l > 2$).

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его длины на ширину:$S = l \cdot (l - 2) = l^2 - 2l$.

По условию, площадь не превосходит 224 см², то есть $S \le 224$. Составим и решим неравенство:$l^2 - 2l \le 224$
$l^2 - 2l - 224 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $l^2 - 2l - 224 = 0$.Вычислим дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$.

Найдем корни уравнения:$l_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{900}}{2} = \frac{2 + 30}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$l_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{900}}{2} = \frac{2 - 30}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.

Графиком функции $y = l^2 - 2l - 224$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $l^2 - 2l - 224 \le 0$ выполняется для значений $l$, находящихся между корнями (включая сами корни):$-14 \le l \le 16$.

Теперь необходимо учесть ограничение, что длина должна быть больше 2 см ($l > 2$).Найдем пересечение двух условий: $-14 \le l \le 16$ и $l > 2$.В результате получаем итоговый диапазон для длины:$2 < l \le 16$.

Ответ: Длина прямоугольника больше 2 см, но не превосходит 16 см.