Номер 37.38, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.38, страница 209.

Условие.

37.38 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$x^2 + 6px + 9 = 0:$

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение $x^2 + 6px + 9 = 0$ имеет определенное количество корней, необходимо проанализировать его дискриминант.

Данное уравнение является квадратным вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=6p$, $c=9$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу дискриминанта: $D = (6p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36p^2 - 36$. Для удобства вынесем общий множитель за скобки: $D = 36(p^2 - 1)$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта $D$.

а) имеет два различных корня
Уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
Составим и решим неравенство:
$36(p^2 - 1) > 0$
Разделим обе части на 36:
$p^2 - 1 > 0$
$p^2 > 1$
Это неравенство справедливо, если модуль $p$ больше 1, то есть $p > 1$ или $p < -1$.
Ответ: $p \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).
Составим и решим уравнение:
$36(p^2 - 1) = 0$
$p^2 - 1 = 0$
$p^2 = 1$
Отсюда получаем два значения для $p$: $p = 1$ и $p = -1$.
Ответ: $p = -1, p = 1$.

в) не имеет корней?
Уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант меньше нуля ($D < 0$).
Составим и решим неравенство:
$36(p^2 - 1) < 0$
$p^2 - 1 < 0$
$p^2 < 1$
Это неравенство справедливо, если модуль $p$ меньше 1, то есть $-1 < p < 1$.
Ответ: $p \in (-1; 1)$.