Номер 40.7, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 40. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 5. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 40.7, страница 214.

Условие.

40.7 Точки $A, B, C, D$ — вершины квадрата. Надо провести три отрезка с концами в этих точках (порядок проведения отрезков не важен). Сколько у задачи существует решений:

а) если все отрезки проводить по сторонам квадрата;

б) если один из отрезков — диагональ $AC$, а два других не имеют общих точек;

в) если один из отрезков — диагональ $BD$, а два других имеют общие точки;

г) всего?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных отрезков. В квадрате с вершинами A, B, C, D можно провести 4 отрезка по сторонам (AB, BC, CD, DA) и 2 диагонали (AC, BD). Всего 6 уникальных отрезков. Мы должны выбрать 3 из них в соответствии с заданными условиями.

а) если все отрезки проводить по сторонам квадрата;

В этом случае нам нужно выбрать 3 отрезка из 4-х сторон квадрата. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из 4 элементов по 3:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$.
Существует 4 таких комбинации: (AB, BC, CD), (BC, CD, DA), (CD, DA, AB) и (DA, AB, BC).
Ответ: 4.

б) если один из отрезков — диагональ AC, а два других не имеют общих точек;

Один отрезок уже выбран — это диагональ AC. Остается выбрать два других отрезка из 5 возможных (4 стороны и диагональ BD).
Согласно условию, эти два отрезка не должны иметь общих точек (т.е. быть непересекающимися). Проанализируем возможные пары:
1. Две стороны: Две стороны не имеют общих точек, только если они являются противоположными сторонами квадрата. Таких пар две: (AB, CD) и (BC, DA).
2. Сторона и диагональ BD: Каждая из четырех сторон квадрата имеет общую вершину с диагональю BD, следовательно, они пересекаются.
Таким образом, есть только две подходящие пары отрезков: (AB, CD) и (BC, DA). Это приводит к двум возможным решениям: {AC, AB, CD} и {AC, BC, DA}.
Ответ: 2.

в) если один из отрезков — диагональ BD, а два других имеют общие точки;

Один отрезок зафиксирован — это диагональ BD. Нужно выбрать еще два отрезка из 5 оставшихся (AB, BC, CD, DA, AC) так, чтобы они имели хотя бы одну общую точку.
Найдем общее количество способов выбрать 2 отрезка из 5, а затем вычтем количество пар, которые не имеют общих точек.
Общее число пар: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Пары отрезков из набора {AB, BC, CD, DA, AC}, не имеющие общих точек, — это только пары противоположных сторон: (AB, CD) и (BC, DA). Диагональ AC пересекается с каждой из четырех сторон. Таким образом, есть 2 непересекающиеся пары.
Количество пар, имеющих общие точки, равно: $10 - 2 = 8$.
Ответ: 8.

г) всего?

Здесь необходимо найти общее количество способов выбрать любые 3 отрезка из 6 возможных (4 стороны и 2 диагонали). Порядок выбора не важен.
Используем формулу для числа сочетаний из 6 элементов по 3:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.
Этот результат можно проверить, рассмотрев все возможные составы троек отрезков:
1. Три стороны: $C_4^3 = 4$ способа.
2. Две стороны и одна диагональ: $C_4^2 \cdot C_2^1 = 6 \cdot 2 = 12$ способов.
3. Одна сторона и две диагонали: $C_4^1 \cdot C_2^2 = 4 \cdot 1 = 4$ способа.
Сумма всех способов: $4 + 12 + 4 = 20$.
Ответ: 20.