Номер 40.5, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 40. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 5. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 40.5, страница 214.

Условие.

40.5 Выбрали произвольное целочисленное решение неравенства $x^2 + 5x - 14 \le 0$. Какова вероятность того, что выбранное число будет также и решением неравенства:

а) $x^2 \le 1$;

б) $x^2 \le 3$;

в) $x^2 \ge 4$;

г) $5x + x^2 \ge 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала найдем все целочисленные решения исходного неравенства $x^2 + 5x - 14 \le 0$. Это будет наше пространство элементарных исходов.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$, чтобы найти корни. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

2. Квадратичная функция $y = x^2 + 5x - 14$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-7; 2]$.

3. Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку: $-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Всего у нас 10 целочисленных решений. Это общее число $n$ равновероятных исходов. Выбор любого из этих чисел равновероятен.

Теперь для каждого подпункта найдем количество благоприятных исходов $m$ (чисел, которые удовлетворяют дополнительному условию) и вычислим вероятность по формуле $P = \frac{m}{n}$.

а) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \le 1$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-1; 1]$. Целочисленные решения на этом отрезке: $-1, 0, 1$.

Все эти три числа входят в наше множество из 10 решений. Следовательно, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность равна $P = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

б) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \le 3$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Так как $1 < \sqrt{3} \approx 1.73$, целочисленные решения на этом отрезке: $-1, 0, 1$.

Все эти три числа входят в наше множество из 10 решений. Следовательно, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность равна $P = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

в) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \ge 4$.

Решением этого неравенства является объединение двух лучей: $(-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

Теперь выберем из нашего множества $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$ (так как они $\le -2$) и $2$ (так как оно $\ge 2$).

Всего таких чисел 7. Следовательно, число благоприятных исходов $m=7$.

Вероятность равна $P = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$

г) Выбранное число является решением неравенства $5x + x^2 \ge 0$.

Перепишем неравенство как $x(x+5) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-5$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $(-\infty; -5] \cup [0; \infty)$.

Теперь выберем из нашего множества $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $-7, -6, -5$ (так как они $\le -5$) и $0, 1, 2$ (так как они $\ge 0$).

Всего таких чисел 6. Следовательно, число благоприятных исходов $m=6$.

Вероятность равна $P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$