Номер 40.1, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 40. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 5. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 40.1, страница 213.

Условие.

40.1 В записи * Ω ■ вместо * можно поставить $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ или $\sqrt{5}$, вместо Ω поставить знак $\le$ или знак $\ge$, а вместо ■ поставить 1,5, 1,7 или 2,3. Будут получаться различные неравенства, например: $\sqrt{2} \ge 1,5$, $\sqrt{5} \le 2,3$ и т. п.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких неравенств.

б) Сколько всего неравенств можно составить?

Какова вероятность того, что случайным образом выбранное неравенство окажется:

в) со знаком $\le$ и будет при этом неверным;

г) со знаком $\le$ и будет при этом верным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дерево вариантов представляет собой структуру, где каждый уровень соответствует одному из выборов для составления неравенства. Первый уровень — выбор числа со знаком корня (*), второй — выбор знака неравенства (Ω), третий — выбор десятичной дроби (■). Каждая конечная ветвь (лист) дерева соответствует одному из возможных неравенств.

• $ \sqrt{2} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 2,3 $)
• $ \sqrt{3} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 2,3 $)
• $ \sqrt{5} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 2,3 $)

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б)

Для нахождения общего количества неравенств воспользуемся правилом умножения в комбинаторике. У нас есть три независимых выбора:

• Выбор числа вместо *: 3 варианта ($ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} $)
• Выбор знака Ω: 2 варианта ($ \le $ или $ \ge $)
• Выбор числа вместо ■: 3 варианта (1,5; 1,7; 2,3)

Общее число возможных неравенств $N$ равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$ N = 3 \times 2 \times 3 = 18 $

Ответ: 18.

в)

Чтобы найти вероятность, сначала определим, какие из неравенств со знаком $ \le $ являются неверными. Для точного сравнения возведем обе части неравенств в квадрат:

$ (\sqrt{2})^2 = 2 $; $ (\sqrt{3})^2 = 3 $; $ (\sqrt{5})^2 = 5 $

$ (1,5)^2 = 2,25 $; $ (1,7)^2 = 2,89 $; $ (2,3)^2 = 5,29 $

Теперь проверим все неравенства со знаком $ \le $ (всего их $ 3 \times 1 \times 3 = 9 $):

• $ \sqrt{2} \le 1,5 $ (верно, так как $ 2 < 2,25 $)
• $ \sqrt{2} \le 1,7 $ (верно, так как $ 2 < 2,89 $)
• $ \sqrt{2} \le 2,3 $ (верно, так как $ 2 < 5,29 $)
• $ \sqrt{3} \le 1,5 $ (неверно, так как $ 3 > 2,25 $)
• $ \sqrt{3} \le 1,7 $ (неверно, так как $ 3 > 2,89 $)
• $ \sqrt{3} \le 2,3 $ (верно, так как $ 3 < 5,29 $)
• $ \sqrt{5} \le 1,5 $ (неверно, так как $ 5 > 2,25 $)
• $ \sqrt{5} \le 1,7 $ (неверно, так как $ 5 > 2,89 $)
• $ \sqrt{5} \le 2,3 $ (верно, так как $ 5 < 5,29 $)

Число неравенств со знаком $ \le $, которые являются неверными, равно 4. Это благоприятные исходы ($m=4$). Общее число всех возможных неравенств — 18 ($N=18$).

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное неравенство будет со знаком $ \le $ и неверным, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$ P = \frac{m}{N} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $.

г)

Используем анализ из предыдущего пункта. Нас интересуют неравенства со знаком $ \le $, которые являются верными. Из списка выше видно, что таких неравенств 5 (три с $ \sqrt{2} $, одно с $ \sqrt{3} $ и одно с $ \sqrt{5} $). Это число благоприятных исходов ($m=5$).

Общее число всех возможных неравенств по-прежнему 18 ($N=18$).

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное неравенство будет со знаком $ \le $ и верным, равна:

$ P = \frac{m}{N} = \frac{5}{18} $

Ответ: $ \frac{5}{18} $.