Номер 39.16, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Стандартный вид числа. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 39.16, страница 212.

Условие.

39.16 Известно, что порядок числа $x$ равен 6. Каким может быть порядок числа:

а) $x^2$;

б) $x^5$;

в) $\sqrt{x}$;

г) $\frac{1}{x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

По определению, порядок числа (или элемента группы) $x$ – это наименьшее натуральное число $n$, такое что $x^n=1$ (где 1 – это нейтральный элемент по умножению). По условию задачи, порядок числа $x$ равен 6, то есть $x^6=1$, и для любого натурального $k$ от 1 до 5, $x^k \neq 1$.

Для нахождения порядка степени элемента $x^k$, если порядок $x$ равен $n$, можно использовать общую формулу:$ord(x^k) = \frac{n}{\gcd(n, k)}$, где $\gcd(n, k)$ – наибольший общий делитель чисел $n$ и $k$.В нашем случае $n=6$.

а) $x^2$

Чтобы найти порядок числа $x^2$, воспользуемся формулой, подставив $n=6$ и $k=2$:$ord(x^2) = \frac{6}{\gcd(6, 2)}$.Наибольший общий делитель чисел 6 и 2 равен 2, то есть $\gcd(6, 2) = 2$.Следовательно, порядок $x^2$ равен $\frac{6}{2} = 3$.Проверим: $(x^2)^3 = x^6 = 1$. При этом $(x^2)^1 = x^2 \neq 1$ и $(x^2)^2 = x^4 \neq 1$, так как по условию порядок $x$ равен 6. Значит, 3 – наименьшая такая степень.

Ответ: 3.

б) $x^5$

Чтобы найти порядок числа $x^5$, подставим в формулу $n=6$ и $k=5$:$ord(x^5) = \frac{6}{\gcd(6, 5)}$.Числа 6 и 5 являются взаимно простыми, поэтому их наибольший общий делитель равен 1, то есть $\gcd(6, 5) = 1$.Следовательно, порядок $x^5$ равен $\frac{6}{1} = 6$.

Ответ: 6.

в) $\sqrt{x}$

Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $y^2 = x$. Нам нужно найти порядок $y$. Обозначим его через $m$.По определению, $ord(y)=m$.Мы знаем, что порядок $x$ равен 6, то есть $ord(y^2) = 6$.Используя формулу для порядка степени элемента в обратную сторону, получаем:$ord(y^2) = \frac{ord(y)}{\gcd(ord(y), 2)} = \frac{m}{\gcd(m, 2)} = 6$.Рассмотрим два возможных случая для $\gcd(m, 2)$:1. Если $m$ – нечетное число, то $\gcd(m, 2) = 1$. Тогда $\frac{m}{1} = 6$, откуда $m=6$. Но 6 – четное число, что противоречит нашему предположению. Этот случай невозможен.2. Если $m$ – четное число, то $\gcd(m, 2) = 2$. Тогда $\frac{m}{2} = 6$, откуда $m=12$. Это согласуется с тем, что $m$ – четное число.Таким образом, если $\sqrt{x}$ существует, его порядок должен быть равен 12. Например, в группе комплексных чисел, если $x = e^{i\pi/3}$ (корень 6-й степени из 1), то $\sqrt{x} = e^{i\pi/6}$ (корень 12-й степени из 1), и его порядок равен 12.

Ответ: 12.

г) $\frac{1}{x}$

Число $\frac{1}{x}$ является обратным к $x$ и обозначается как $x^{-1}$.В любой группе порядок элемента и его обратного совпадают.Пусть порядок $x$ равен $n$. Это значит, что $x^n=1$ и $n$ – наименьшее такое натуральное число.Нам нужно найти наименьшее натуральное $m$, для которого $(x^{-1})^m = 1$.Уравнение $(x^{-1})^m = 1$ эквивалентно $(x^m)^{-1} = 1$, что в свою очередь эквивалентно $x^m=1$.Наименьшее натуральное $m$, удовлетворяющее этому условию, по определению равно порядку числа $x$, то есть $m=n$.Поскольку порядок $x$ равен 6, порядок $\frac{1}{x}$ также равен 6.

Ответ: 6.