Номер 38.11, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 38. Приближённые значения действительных чисел. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 38.11, страница 211.

Условие.

38.11 Упростите и вычислите с точностью до 0,1:

a) $ \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}} $;

б) $ \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Рассмотрим выражение $\sqrt{3 - \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}$.
Сначала упростим внутренний радикал $\sqrt{29 - 12\sqrt{5}}$. Для этого представим подкоренное выражение $29 - 12\sqrt{5}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 29$ и $2ab = 12\sqrt{5}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 6\sqrt{5}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{5}$.
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{5})^2 = 9 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29$.
Условия выполняются. Значит, $29 - 12\sqrt{5} = (3 - 2\sqrt{5})^2$ или $(2\sqrt{5} - 3)^2$.
Следовательно, $\sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3|$.
Сравним $2\sqrt{5}$ и $3$. $(2\sqrt{5})^2 = 20$, а $3^2 = 9$. Так как $20 > 9$, то $2\sqrt{5} > 3$. Поэтому $|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$.
Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt{3 - (2\sqrt{5} - 3)} = \sqrt{3 - 2\sqrt{5} + 3} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$.
Теперь упростим $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Снова ищем полный квадрат $(a-b)^2$.
$a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 2\sqrt{5}$, откуда $ab = \sqrt{5}$.
Очевидные значения: $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.
Проверка: $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6$.
Значит, $6 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1|$.
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5} > 1$, и $|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$.
Теперь вычислим значение с точностью до 0,1:
$\sqrt{5} - 1 \approx 2.236 - 1 = 1.236$.
Округляя до десятых, получаем $1.2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 1 \approx 1.2$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$.
Сначала упростим самый внутренний радикал: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим это в выражение:
$\sqrt{5 - \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}$.
Теперь упростим радикал $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение $13 + 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$a^2 + b^2 = 13$ и $2ab = 4\sqrt{3}$, откуда $ab = 2\sqrt{3}$.
Попробуем подобрать значения. Пусть $a=2\sqrt{3}$ и $b=1$.
Проверим: $a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$.
Условия выполняются. Значит, $13 + 4\sqrt{3} = (2\sqrt{3} + 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2} = |2\sqrt{3} + 1| = 2\sqrt{3} + 1$, так как оба слагаемых положительны.
Подставим результат в наше выражение:
$\sqrt{5 - (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 1} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.
Упростим $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$, представив $4 - 2\sqrt{3}$ в виде $(a-b)^2$.
$a^2 + b^2 = 4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$, откуда $ab = \sqrt{3}$.
Очевидные значения: $a=\sqrt{3}$ и $b=1$.
Проверка: $a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.
Значит, $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 1$, и $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Теперь вычислим значение с точностью до 0,1:
$\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Округляя до десятых, получаем $0.7$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 \approx 0.7$