Номер 4, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$

Для решения квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$, используется следующий алгоритм, основанный на анализе свойств квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:

1. Нахождение корней уравнения. Первым шагом является нахождение корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

   • При $D > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
   • При $D = 0$ уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих) $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   • При $D < 0$ уравнение не имеет действительных корней.

2. Определение направления ветвей параболы. Графиком квадратичной функции является парабола. Направление ее ветвей определяется знаком коэффициента $a$.

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Анализ знаков функции и запись решения. На основе информации о корнях и направлении ветвей параболы определяется, на каких промежутках функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает неположительные значения ($y \le 0$). Для этого можно схематически нарисовать параболу.

   • Случай 1: $a > 0$ (ветви вверх)
     • Если $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$), функция неположительна между корнями. Решение: $x \in [x_1, x_2]$.
     • Если $D = 0$ (один корень $x_0$), функция неположительна только в одной точке. Решение: $x = x_0$.
     • Если $D < 0$ (нет корней), функция всегда положительна. У неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ решений нет.
   • Случай 2: $a < 0$ (ветви вниз)
     • Если $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$), функция неположительна за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty)$.
     • Если $D = 0$ (один корень $x_0$), функция всегда неположительна. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.
     • Если $D < 0$ (нет корней), функция всегда отрицательна. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

Ответ: Вышеописанные шаги представляют собой полный алгоритм решения квадратного неравенства.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$

Применим данный алгоритм к неравенству $x^2 + x - 12 \le 0$.

1. Нахождение корней уравнения.

   Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. Здесь $a=1, b=1, c=-12$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
   Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два корня:
   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.
   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

2. Определение направления ветвей параболы.

   Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализ знаков функции и запись решения.

   Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 3$. Неравенство $x^2 + x - 12 \le 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых график функции находится на оси Ox или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.