Номер 3, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$

Решение квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ основано на анализе свойств соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола. Алгоритм решения (также известный как метод интервалов для квадратичной функции) состоит из следующих шагов:

1. Определить направление ветвей параболы. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$:

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Корни уравнения (если они существуют) — это точки, в которых парабола пересекает или касается оси абсцисс (Ox).

3. Схематически изобразить параболу на координатной оси, учитывая направление ее ветвей и найденные корни. На основе этого эскиза определить интервалы, на которых график функции расположен выше оси Ox (то есть, где $y > 0$). Возможны три случая в зависимости от значения дискриминанта:

   • Случай 1: $D > 0$ (уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, пусть $x_1 < x_2$).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), функция положительна вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), функция положительна внутри интервала между корнями. Решение: $x \in (x_1, x_2)$.

   • Случай 2: $D = 0$ (уравнение имеет один действительный корень $x_0 = -b/(2a)$).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), парабола касается оси Ox и расположена выше нее при всех значениях $x$, кроме точки $x_0$. Решение: $x \in (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), парабола касается оси Ox и расположена ниже нее. Положительных значений функция не принимает. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ решений не имеет.

   • Случай 3: $D < 0$ (уравнение не имеет действительных корней).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), вся парабола лежит выше оси Ox. Функция всегда положительна. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), вся парабола лежит ниже оси Ox. Функция всегда отрицательна. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ решений не имеет.

Примените его для решения неравенства $x^2 - 5x + 6 > 0$

Применим описанный выше алгоритм к неравенству $x^2 - 5x + 6 > 0$.

1. Рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 5x + 6$. Старший коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
   Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
   Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
   $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$
   $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

3. Мы имеем случай, когда $a > 0$ и $D > 0$. Ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=3$. Это означает, что функция $y=x^2-5x+6$ принимает положительные значения на интервалах, которые находятся вне отрезка между корнями, то есть при $x < 2$ и при $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.