Номер 5, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a > 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

a) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$;

г) $ax^2 + bx + c \le 0?

Поясните свой ответ с помощью геометрической иллюстрации.

Для анализа решений данных неравенств рассмотрим график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Из условий задачи нам известно:

1. Коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.
2. Дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox) и не касается её.

Совместив эти два условия, мы можем сделать вывод о расположении параболы. Раз её ветви направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, значит, вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси Ox. Это означает, что для любого значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ будет строго положительным.

Геометрическая иллюстрация:

Исходя из этого, решим каждое неравенство:

а) $ax^2 + bx + c > 0$

Так как парабола $y = ax^2 + bx + c$ полностью находится выше оси Ox, значение трёхчлена всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $ax^2 + bx + c < 0$

Поскольку значение трёхчлена всегда положительно, оно никогда не может быть отрицательным. Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$

Так как трёхчлен всегда строго больше нуля, он тем более всегда больше или равен нулю. Неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $ax^2 + bx + c \le 0$

Трёхчлен никогда не бывает отрицательным и никогда не равен нулю (так как парабола не пересекает ось Ox). Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).