Номер 8, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Если $a \geq 0, b \geq 0, n \in N, a > b$, то какое из утверждений верно:

а) $a^n < b^n$;

б) $a^n > b^n$;

в) $a^n = b^n$?

Для определения верного утверждения проанализируем каждое из предложенных, исходя из заданных условий: $a \ge 0, b \ge 0, n \in N$ (где $N$ — множество натуральных чисел, т.е. $n \ge 1$), и $a > b$.

а) $a^n < b^n$

Данное утверждение неверно. Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число. На множестве неотрицательных чисел ($x \ge 0$) эта функция является строго возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1, x_2$ из этого множества, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$.Поскольку по условию задачи $a > b$ и оба числа неотрицательны, должно выполняться неравенство $f(a) > f(b)$, то есть $a^n > b^n$. Утверждение $a^n < b^n$ является противоположным и, следовательно, ложным.Например, если взять $a=3, b=2$ и $n=2$, условия $a>b$ и $n \in N$ соблюдаются. При этом $a^n = 3^2 = 9$, а $b^n = 2^2 = 4$. Очевидно, что $9 > 4$, то есть $a^n > b^n$, а не $a^n < b^n$.
Ответ: утверждение неверно.

б) $a^n > b^n$

Данное утверждение верно. Докажем его, используя метод математической индукции по $n$.

База индукции (при $n=1$):
При $n=1$ неравенство принимает вид $a^1 > b^1$, то есть $a > b$. Это в точности соответствует одному из условий задачи, поэтому база индукции верна.

Шаг индукции:
Предположим, что неравенство $a^k > b^k$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. Это наше индукционное предположение.Докажем, что из этого следует верность неравенства для $k+1$, то есть $a^{k+1} > b^{k+1}$.1. Умножим обе части верного по предположению неравенства $a^k > b^k$ на число $a$. Так как по условию $a > b \ge 0$, то $a$ — положительное число ($a>0$). При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется:$a \cdot a^k > a \cdot b^k \implies a^{k+1} > ab^k$.2. Теперь воспользуемся исходным условием $a > b$. Умножим обе части этого неравенства на $b^k$. Так как $b \ge 0$ и $k \in N$, то $b^k \ge 0$. Знак неравенства не изменится:$a \cdot b^k \ge b \cdot b^k \implies ab^k \ge b^{k+1}$.(Если $b>0$, то $b^k > 0$ и неравенство будет строгим: $ab^k > b^{k+1}$. Если $b=0$, то исходное доказываемое неравенство $a^{k+1} > b^{k+1}$ превращается в $a^{k+1} > 0$, что верно, так как из $a>b=0$ следует $a>0$).3. Объединяя полученные результаты $a^{k+1} > ab^k$ и $ab^k \ge b^{k+1}$, по свойству транзитивности неравенств получаем:$a^{k+1} > b^{k+1}$.Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $a^n > b^n$ верно для всех натуральных $n$.
Ответ: утверждение верно.

в) $a^n = b^n$

Данное утверждение неверно. Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ и натурального показателя степени $n$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором дано строгое неравенство $a > b$.
Ответ: утверждение неверно.