Страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5. Если $a > b$ и $m < 0$, то какое из утверждений верно:

а) $am < bm$;

б) $am > bm$;

в) $am = bm$?

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство числовых неравенств, которое касается умножения на отрицательное число.

По условию нам дано неравенство $a > b$ и условие $m < 0$, что означает, что $m$ является отрицательным числом.

Основное правило гласит: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (">" на "<", и наоборот).

Применим это правило к исходному неравенству $a > b$. Умножим обе его части на отрицательное число $m$:

$a \cdot m < b \cdot m$

Следовательно, мы получаем верное неравенство:

$am < bm$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

а) $am < bm$
Это утверждение полностью соответствует результату, который мы получили, применив свойство неравенств. При умножении неравенства $a > b$ на отрицательное число $m$, знак ">" меняется на "<".
Проверка на примере: пусть $a=5$, $b=2$ ($5>2$) и $m=-3$ ($-3<0$). Тогда $am = 5 \cdot (-3) = -15$, а $bm = 2 \cdot (-3) = -6$. Неравенство $-15 < -6$ является верным.
Ответ: Верно.

б) $am > bm$
Это утверждение было бы верным, если бы число $m$ было положительным ($m > 0$), так как в этом случае знак неравенства сохраняется. Но по условию $m < 0$, поэтому это утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

в) $am = bm$
Это утверждение неверно. Равенство $am = bm$ может выполняться только в двух случаях: либо $a = b$, либо $m = 0$. Оба этих варианта противоречат условиям задачи, в которых указано, что $a > b$ и $m < 0$.
Ответ: Неверно.

6. Если $a > b$ и $c > d$, то какое из утверждений верно:

а) $a + c < b + d$;

б) $a + c > b + d$;

в) $a + c = b + d$?

Чтобы определить, какое из утверждений верно, воспользуемся свойством сложения числовых неравенств.

Нам даны два неравенства одного знака:

1) $a > b$

2) $c > d$

Согласно свойству, мы можем почленно сложить эти неравенства, при этом знак неравенства сохранится:

$a + c > b + d$

Это неравенство является прямым следствием исходных условий. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $a + c < b + d$

Это утверждение противоречит нашему выводу $a + c > b + d$. Например, если $a=3, b=2$ и $c=4, d=1$, то условия $3>2$ и $4>1$ верны. При этом $a+c = 3+4=7$, а $b+d = 2+1=3$. Неравенство $7 < 3$ ложно.

Ответ: неверно.

б) $a + c > b + d$

Это утверждение полностью совпадает с результатом, полученным из свойства сложения неравенств. Для любых чисел $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a > b$ и $c > d$, это неравенство будет верным.

Ответ: верно.

в) $a + c = b + d$

Это утверждение также противоречит нашему выводу. Так как оба исходных неравенства строгие, сумма левых частей будет строго больше суммы правых частей, и равенство между ними невозможно.

Ответ: неверно.

7. Если $a, b, c, d$ — положительные числа и $a > b$ и $c > d$, то

какое из утверждений верно:

а) $ac < bd$;

б) $ac > bd$;

в) $ac = bd$?

По условию задачи, $a, b, c, d$ — положительные числа, для которых выполняются два строгих неравенства: $a > b$ и $c > d$. Нам нужно определить, какое соотношение между произведениями $ac$ и $bd$ является верным.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств.

1. Возьмем первое неравенство $a > b$. Так как по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $a > b$ на $c$. Знак неравенства при умножении на положительное число сохраняется:
$a \cdot c > b \cdot c$
то есть, $ac > bc$.

2. Теперь возьмем второе неравенство $c > d$. Так как по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $c > d$ на $b$. Знак неравенства также сохранится:
$c \cdot b > d \cdot b$
то есть, $bc > bd$.

3. Мы получили два неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$.
Используя свойство транзитивности для неравенств (если $X > Y$ и $Y > Z$, то $X > Z$), мы можем объединить эти два результата в одну цепочку и сделать вывод:
$ac > bd$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов на основе нашего вывода.

а) $ac < bd$
Это утверждение прямо противоречит полученному нами результату $ac > bd$. Для наглядности можно рассмотреть пример: пусть $a=5, b=4, c=3, d=2$. Условия $5>4$ и $3>2$ выполнены. Тогда $ac = 5 \cdot 3 = 15$, а $bd = 4 \cdot 2 = 8$. Неравенство $15 < 8$ ложно. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б) $ac > bd$
Это утверждение полностью совпадает с результатом, который мы получили строго математически, исходя из свойств неравенств. Оно верно для любых положительных чисел $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a > b$ и $c > d$.
Ответ: верно.

в) $ac = bd$
Это утверждение также неверно, поскольку мы доказали, что имеет место строгое неравенство $ac > bd$. Равенство в общем случае невозможно. В приведенном выше примере $15 \neq 8$.
Ответ: неверно.

8. Если $a \geq 0, b \geq 0, n \in N, a > b$, то какое из утверждений верно:

а) $a^n < b^n$;

б) $a^n > b^n$;

в) $a^n = b^n$?

Для определения верного утверждения проанализируем каждое из предложенных, исходя из заданных условий: $a \ge 0, b \ge 0, n \in N$ (где $N$ — множество натуральных чисел, т.е. $n \ge 1$), и $a > b$.

а) $a^n < b^n$

Данное утверждение неверно. Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число. На множестве неотрицательных чисел ($x \ge 0$) эта функция является строго возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1, x_2$ из этого множества, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$.Поскольку по условию задачи $a > b$ и оба числа неотрицательны, должно выполняться неравенство $f(a) > f(b)$, то есть $a^n > b^n$. Утверждение $a^n < b^n$ является противоположным и, следовательно, ложным.Например, если взять $a=3, b=2$ и $n=2$, условия $a>b$ и $n \in N$ соблюдаются. При этом $a^n = 3^2 = 9$, а $b^n = 2^2 = 4$. Очевидно, что $9 > 4$, то есть $a^n > b^n$, а не $a^n < b^n$.
Ответ: утверждение неверно.

б) $a^n > b^n$

Данное утверждение верно. Докажем его, используя метод математической индукции по $n$.

База индукции (при $n=1$):
При $n=1$ неравенство принимает вид $a^1 > b^1$, то есть $a > b$. Это в точности соответствует одному из условий задачи, поэтому база индукции верна.

Шаг индукции:
Предположим, что неравенство $a^k > b^k$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. Это наше индукционное предположение.Докажем, что из этого следует верность неравенства для $k+1$, то есть $a^{k+1} > b^{k+1}$.1. Умножим обе части верного по предположению неравенства $a^k > b^k$ на число $a$. Так как по условию $a > b \ge 0$, то $a$ — положительное число ($a>0$). При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется:$a \cdot a^k > a \cdot b^k \implies a^{k+1} > ab^k$.2. Теперь воспользуемся исходным условием $a > b$. Умножим обе части этого неравенства на $b^k$. Так как $b \ge 0$ и $k \in N$, то $b^k \ge 0$. Знак неравенства не изменится:$a \cdot b^k \ge b \cdot b^k \implies ab^k \ge b^{k+1}$.(Если $b>0$, то $b^k > 0$ и неравенство будет строгим: $ab^k > b^{k+1}$. Если $b=0$, то исходное доказываемое неравенство $a^{k+1} > b^{k+1}$ превращается в $a^{k+1} > 0$, что верно, так как из $a>b=0$ следует $a>0$).3. Объединяя полученные результаты $a^{k+1} > ab^k$ и $ab^k \ge b^{k+1}$, по свойству транзитивности неравенств получаем:$a^{k+1} > b^{k+1}$.Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $a^n > b^n$ верно для всех натуральных $n$.
Ответ: утверждение верно.

в) $a^n = b^n$

Данное утверждение неверно. Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ и натурального показателя степени $n$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором дано строгое неравенство $a > b$.
Ответ: утверждение неверно.

9. Что такое среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$?

9.

Среднее арифметическое двух или нескольких чисел — это число, равное частному от деления суммы этих чисел на их количество. Это одна из наиболее распространенных мер центральной тенденции, которая показывает "типичное" или "среднее" значение в наборе данных.

Для двух конкретных чисел $a$ и $b$ их среднее арифметическое находится путем сложения этих двух чисел и последующего деления результата на 2.

Формула для вычисления среднего арифметического ($m$) двух чисел $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$m = \frac{a + b}{2}$

Геометрически, на числовой прямой, среднее арифметическое двух чисел является точкой, которая расположена ровно посередине между ними.

Пример:

Найдем среднее арифметическое чисел 10 и 24.

1. Складываем числа: $10 + 24 = 34$.

2. Делим полученную сумму на их количество (то есть на 2): $34 \div 2 = 17$.

Таким образом, 17 является средним арифметическим чисел 10 и 24.

Ответ: Среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ — это их сумма, разделенная на два. Оно вычисляется по формуле $ \frac{a + b}{2} $.

10. Что такое среднее геометрическое двух чисел $a$ и $b$?

9. Среднее арифметическое двух чисел a и b — это число, равное их полусумме. Чтобы его вычислить, необходимо сложить данные числа и результат разделить на их количество, то есть на 2. Это значение можно рассматривать как «центр» или «середину» между двумя числами на числовой прямой.
Математически это выражается следующей формулой:
$m_a = \frac{a + b}{2}$
Например, для чисел 4 и 16 среднее арифметическое будет:
$m_a = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Число 10 находится ровно посередине между 4 и 16, так как расстояние от 10 до 4 равно 6, и расстояние от 10 до 16 также равно 6.
Ответ: Среднее арифметическое двух чисел a и b — это результат деления их суммы на два, вычисляемый по формуле $\frac{a+b}{2}$.

10. Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел a и b — это неотрицательное число, квадрат которого равен произведению этих двух чисел. Иными словами, это квадратный корень из их произведения. Это понятие часто используется для нахождения среднего темпа роста или при работе с величинами, которые изменяются мультипликативно.
Формула для вычисления среднего геометрического $m_g$:
$m_g = \sqrt{a \cdot b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$)
Например, найдем среднее геометрическое чисел 3 и 12:
$m_g = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$
Геометрическая интерпретация этого понятия такова: среднее геометрическое двух отрезков с длинами a и b — это длина стороны квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами a и b.
Ответ: Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел a и b — это квадратный корень из их произведения, вычисляемый по формуле $\sqrt{a \cdot b}$.

11. Какая связь существует между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел $a$ и $b$?

Для двух неотрицательных чисел $a \ge 0$ и $b \ge 0$ существуют следующие определения:

• Среднее арифметическое — это полусумма этих чисел, которая вычисляется по формуле: $M_A = \frac{a+b}{2}$.

• Среднее геометрическое — это квадратный корень из произведения этих чисел, который вычисляется по формуле: $M_G = \sqrt{ab}$.

Связь между этими двумя величинами описывается неравенством о средних (также известным как неравенство Коши для двух чисел). Оно утверждает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

В виде формулы это записывается так:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

При этом равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ равны между собой ($a=b$).

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения рассмотрим разность между средним арифметическим и средним геометрическим:

$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$

Наша задача — доказать, что эта разность всегда неотрицательна (то есть больше или равна нулю). Приведём выражение к общему знаменателю:

$\frac{a+b - 2\sqrt{ab}}{2}$

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ неотрицательны, мы можем представить их в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Подставим это в числитель:

$\frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2}$

Выражение в числителе является полным квадратом разности двух чисел $(\sqrt{a})$ и $(\sqrt{b})$. Свернём его по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$. Знаменатель (число 2) положителен. Следовательно, вся дробь также является неотрицательной:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$

Таким образом, мы доказали, что разность $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$ всегда больше или равна нулю. Отсюда следует и само неравенство:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Случай равенства:

Равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ будет выполняться только в том случае, когда рассмотренная нами разность равна нулю:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$

Это возможно, только если выражение в скобках равно нулю:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$

$\sqrt{a} = \sqrt{b}$

Так как $a$ и $b$ — неотрицательные числа, то равенство их квадратных корней означает и равенство самих чисел:

$a = b$

Доказательство завершено.

Ответ: Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ всегда больше или равно их среднему геометрическому. Это выражается неравенством $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

35.16 Известно, что $m > n$. Объясните, на основании каких свойств числовых неравенств можно утверждать, что верно неравенство:

а) $-7m < -7n$;

б) $1 - m < 1 - n$;

в) $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$;

г) $5m + 13 < 5n + 13$.

а) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы из этого неравенства получить неравенство $-7m < -7n$, необходимо обе его части умножить на $-7$. Используем свойство числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Поскольку $-7 < 0$, при умножении на $-7$ знак «>» меняется на «<».
$m > n$ | $\cdot (-7)$
$m \cdot (-7) < n \cdot (-7)$
$-7m < -7n$
Таким образом, неравенство $-7m < -7n$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании свойства умножения обеих частей неравенства на отрицательное число, что требует изменения знака неравенства на противоположный.

б) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы получить неравенство $1 - m < 1 - n$, нужно выполнить два преобразования: 1. Умножить обе части исходного неравенства на $-1$. Так как $-1$ — отрицательное число, используем свойство умножения на отрицательное число и меняем знак неравенства на противоположный:
$m \cdot (-1) < n \cdot (-1)$
$-m < -n$
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $1$. Используем свойство: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.
$-m + 1 < -n + 1$
$1 - m < 1 - n$
Таким образом, неравенство $1 - m < 1 - n$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании последовательного применения двух свойств: умножения неравенства на отрицательное число (со сменой знака) и прибавления к обеим частям неравенства одного и того же числа.

в) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы получить неравенство $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$, необходимо обе части исходного неравенства разделить на $4$. Используем свойство числовых неравенств: при делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства не меняется. Поскольку $4 > 0$, знак неравенства «>» сохраняется.
$m > n$ | $: 4$
$\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$
Таким образом, неравенство $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании свойства деления обеих частей неравенства на положительное число, при котором знак неравенства сохраняется.

г) Исходное неравенство: $m > n$. Проверим, можно ли из этого неравенства получить $5m + 13 < 5n + 13$. 1. Умножим обе части исходного неравенства на положительное число $5$. Согласно свойству, при умножении на положительное число знак неравенства не меняется:
$m \cdot 5 > n \cdot 5$
$5m > 5n$
2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число $13$. Согласно свойству, при прибавлении к обеим частям одного и того же числа знак неравенства не меняется:
$5m + 13 > 5n + 13$
Мы получили неравенство $5m + 13 > 5n + 13$, которое противоречит неравенству $5m + 13 < 5n + 13$ из условия задачи. Это означает, что при $m > n$ неравенство $5m + 13 < 5n + 13$ неверно. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.
Ответ: На основании свойств числовых неравенств и условия $m > n$ утверждать, что неравенство $5m + 13 < 5n + 13$ верно, нельзя. Из $m > n$ следует обратное неравенство: $5m + 13 > 5n + 13$.

35.17 Можно ли утверждать, что $a > b$, если:

а) $a - 8 > b - 8$;

б) $3a > 3b$;

в) $12 - a > 12 - b$;

г) $\frac{a}{7} > \frac{b}{7}$?

а) Дано неравенство $a - 8 > b - 8$.

Воспользуемся свойством неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям данного неравенства число 8:

$(a - 8) + 8 > (b - 8) + 8$

После упрощения получаем:

$a > b$

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да.

б) Дано неравенство $3a > 3b$.

Воспользуемся свойством неравенств: если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Разделим обе части данного неравенства на 3 (поскольку $3 > 0$):

$\frac{3a}{3} > \frac{3b}{3}$

После упрощения получаем:

$a > b$

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да.

в) Дано неравенство $12 - a > 12 - b$.

Сначала вычтем из обеих частей неравенства число 12. Знак неравенства при этом не изменится.

$(12 - a) - 12 > (12 - b) - 12$

$-a > -b$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$(-a) \cdot (-1) < (-b) \cdot (-1)$

В результате получаем:

$a < b$

Это противоречит утверждению, что $a > b$.

Ответ: Нет.

г) Дано неравенство $\frac{a}{7} > \frac{b}{7}$.

Воспользуемся свойством неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части данного неравенства на 7 (поскольку $7 > 0$):

$\frac{a}{7} \cdot 7 > \frac{b}{7} \cdot 7$

После упрощения получаем:

$a > b$

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да.

35.18 Можно ли утверждать, что $x < y$, если:

а) $2 - x > 2 - y;$

б) $-3,5x > -3,5y;$

в) $-41 + x < -41 + y;$

г) $\frac{x}{-2,8} > \frac{y}{-2,8}?$

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны преобразовать каждое из данных неравенств, используя свойства числовых неравенств, и посмотреть, придем ли мы к неравенству $x < y$.

Основные свойства, которые мы будем использовать:

• Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
• Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный ( $>$ на <, или < на $>$ ), то получится верное неравенство.

а) Дано неравенство $2 - x > 2 - y$.

1. Вычтем из обеих частей неравенства число 2. Знак неравенства при этом не изменится:

$(2 - x) - 2 > (2 - y) - 2$

$-x > -y$

2. Теперь умножим обе части полученного неравенства на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства $>$ необходимо поменять на <:

$(-x) \cdot (-1) < (-y) \cdot (-1)$

$x < y$

Таким образом, из неравенства $2 - x > 2 - y$ следует, что $x < y$.

Ответ: да, можно.

б) Дано неравенство $-3,5x > -3,5y$.

1. Разделим обе части этого неравенства на число -3,5. Поскольку -3,5 является отрицательным числом, знак неравенства $>$ нужно изменить на противоположный, то есть на <:

$\frac{-3,5x}{-3,5} < \frac{-3,5y}{-3,5}$

$x < y$

Таким образом, из неравенства $-3,5x > -3,5y$ следует, что $x < y$.

Ответ: да, можно.

в) Дано неравенство $-41 + x < -41 + y$.

1. Прибавим к обеим частям неравенства число 41. Знак неравенства при этом не изменится:

$(-41 + x) + 41 < (-41 + y) + 41$

$x < y$

Таким образом, из неравенства $-41 + x < -41 + y$ следует, что $x < y$.

Ответ: да, можно.

г) Дано неравенство $\frac{x}{-2,8} > \frac{y}{-2,8}$.

1. Умножим обе части неравенства на число -2,8. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства $>$ необходимо изменить на <:

$\frac{x}{-2,8} \cdot (-2,8) < \frac{y}{-2,8} \cdot (-2,8)$

$x < y$

Таким образом, из неравенства $\frac{x}{-2,8} > \frac{y}{-2,8}$ следует, что $x < y$.

Ответ: да, можно.

35.19 Известно, что $a, b, c, d$ — положительные числа, причём $a > b$, $d < b, c > a$. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$. Также заданы следующие соотношения между ними: $a > b$, $d < b$ и $c > a$. Требуется расположить в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$.

Шаг 1: Упорядочим числа a, b, c, d.
Из данных неравенств составим единую цепочку.
Из $a > b$ и $d < b$ следует, что $d$ — наименьшее из этих трёх чисел, а $a$ — наибольшее. Получаем $d < b < a$.
Из неравенства $c > a$ следует, что $c$ больше, чем $a$.
Объединяя все неравенства, получаем общую последовательность: $d < b < a < c$.

Шаг 2: Сравним обратные величины.
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Для положительных значений $x$ (а по условию все наши числа положительные) эта функция является убывающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$. Другими словами, при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный.

Шаг 3: Расположим обратные числа в порядке возрастания.
Применим свойство убывающей функции к полученной в Шаге 1 цепочке неравенств $d < b < a < c$.
Так как $d < b < a < c$, то для обратных величин будет справедливо:
$\frac{1}{d} > \frac{1}{b} > \frac{1}{a} > \frac{1}{c}$.
Это порядок убывания чисел. Чтобы расположить их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), необходимо записать эту последовательность в обратном порядке:
$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$.

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.

Сложите почленно неравенства:

35.20 а) $13 > 5$ и $8 > 1;$

б) $-1,5 < -0,2$ и $-2 < 3,5;$

в) $19 > 12$ и $3,5 > 2;$

г) $-0,1 < 1$ и $-2,8 < 4.$

Даны два неравенства: $13 > 5$ и $8 > 1$. Основное правило сложения неравенств гласит, что можно почленно складывать неравенства одного знака. В данном случае оба неравенства имеют знак «больше» ($>$), поэтому мы можем их сложить.
Сложим левые части неравенств: $13 + 8 = 21$.
Сложим правые части неравенств: $5 + 1 = 6$.
Сохраняем исходный знак неравенства и записываем результат: $21 > 6$. Полученное неравенство является верным.

Ответ: $21 > 6$

Даны два неравенства: $-1,5 < -0,2$ и $-2 < 3,5$. Оба неравенства имеют одинаковый знак «меньше» (<), следовательно, их можно сложить почленно.
Сумма левых частей: $-1,5 + (-2) = -1,5 - 2 = -3,5$.
Сумма правых частей: $-0,2 + 3,5 = 3,3$.
Сохраняем знак неравенства и записываем итоговое неравенство: $-3,5 < 3,3$. Полученное неравенство является верным.

Ответ: $-3,5 < 3,3$

Даны два неравенства: $19 > 12$ и $3,5 > 2$. Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ($>$), мы можем выполнить их почленное сложение.
Сумма левых частей: $19 + 3,5 = 22,5$.
Сумма правых частей: $12 + 2 = 14$.
Сохраняем знак неравенства и получаем результат: $22,5 > 14$. Полученное неравенство является верным.

Ответ: $22,5 > 14$

Даны два неравенства: $-0,1 < 1$ и $-2,8 < 4$. Оба неравенства имеют одинаковый знак (<), что позволяет их сложить почленно.
Сумма левых частей: $-0,1 + (-2,8) = -0,1 - 2,8 = -2,9$.
Сумма правых частей: $1 + 4 = 5$.
Сохраняем знак неравенства и получаем итоговое неравенство: $-2,9 < 5$. Полученное неравенство является верным.

Ответ: $-2,9 < 5$

35.21 а) $5 > 2$ и $-3 < 1$;

б) $7,5 < 11,7$ и $-4,7 > -5,8$;

в) $0,2 < 3$ и $2,8 > 1,7$;

г) $-3,9 > -7,2$ и $6,5 < 14,7$.

а) В данном пункте представлены два числовых неравенства: $5 > 2$ и $-3 < 1$.
Первое неравенство $5 > 2$ является верным, так как число 5 на числовой оси находится правее числа 2. Разность $5 - 2 = 3$ является положительным числом.
Второе неравенство $-3 < 1$ также является верным, поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: оба неравенства верные.

б) Рассмотрим два неравенства: $7,5 < 11,7$ и $-4,7 > -5,8$.
Первое неравенство $7,5 < 11,7$ является верным. Можно сравнить целые части чисел: $7 < 11$.
Второе неравенство $-4,7 > -5,8$ является верным. При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-4,7| = 4,7$ и $|-5,8| = 5,8$. Так как $4,7 < 5,8$, то $-4,7 > -5,8$. На числовой оси точка $-4,7$ находится правее точки $-5,8$.
Ответ: оба неравенства верные.

в) Рассмотрим два неравенства: $0,2 < 3$ и $2,8 > 1,7$.
Первое неравенство $0,2 < 3$ является верным, так как $0,2$ — это положительное число, меньшее 1, а 3 — положительное число, большее 1. Сравнивая целые части, $0 < 3$.
Второе неравенство $2,8 > 1,7$ является верным. Сравнивая целые части чисел, получаем $2 > 1$.
Ответ: оба неравенства верные.

г) Рассмотрим два неравенства: $-3,9 > -7,2$ и $6,5 < 14,7$.
Первое неравенство $-3,9 > -7,2$ является верным. Для отрицательных чисел, то число больше, которое ближе к нулю (т.е. имеет меньший модуль). $|-3,9| = 3,9$ и $|-7,2| = 7,2$. Так как $3,9 < 7,2$, то $-3,9 > -7,2$.
Второе неравенство $6,5 < 14,7$ является верным. Сравнивая целые части чисел, видим, что $6 < 14$.
Ответ: оба неравенства верные.

35.22 Докажите, что если $a > 2$, то:

а) $3a > 6$;

б) $-2a < -4$;

в) $0,5a > 1$;

г) $-1,5a < -3$.

а) По условию задачи дано неравенство $a > 2$. Чтобы доказать, что $3a > 6$, необходимо умножить обе части исходного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число ($3 > 0$), знак неравенства при умножении не меняется.
Выполним умножение:
$a \cdot 3 > 2 \cdot 3$
$3a > 6$
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $3a > 6$ доказано.

б) Используем исходное неравенство $a > 2$. Чтобы доказать, что $-2a < -4$, умножим обе части неравенства на -2. Так как -2 — отрицательное число ($-2 < 0$), знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с «больше» на «меньше»).
Выполним умножение:
$a \cdot (-2) < 2 \cdot (-2)$
$-2a < -4$
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $-2a < -4$ доказано.

в) Начнем с данного по условию неравенства $a > 2$. Чтобы доказать, что $0,5a > 1$, умножим обе части на 0,5. Число 0,5 является положительным ($0,5 > 0$), поэтому знак неравенства остается прежним.
Выполним умножение:
$a \cdot 0,5 > 2 \cdot 0,5$
$0,5a > 1$
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $0,5a > 1$ доказано.

г) Возьмем исходное неравенство $a > 2$. Чтобы доказать, что $-1,5a < -3$, умножим обе части неравенства на -1,5. Так как -1,5 — это отрицательное число ($-1,5 < 0$), то при умножении знак неравенства нужно поменять на противоположный (с $>$ на <).
Выполним умножение:
$a \cdot (-1,5) < 2 \cdot (-1,5)$
$-1,5a < -3$
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $-1,5a < -3$ доказано.

35.23 Докажите, что если $m < 4,5$, то:

а) $\frac{m}{5} < 0,9;$

б) $-\frac{m}{3} > -1,5;$

в) $\frac{m}{1,5} < 3;$

г) $-\frac{m}{0,09} > -50.$

а)

По условию задачи дано неравенство $m < 4,5$. Чтобы доказать, что $\frac{m}{5} < 0,9$, разделим обе части исходного неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$\frac{m}{5} < \frac{4,5}{5}$

Вычислим значение правой части:

$\frac{4,5}{5} = 0,9$

Таким образом, мы получаем неравенство $\frac{m}{5} < 0,9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Используем исходное неравенство $m < 4,5$. Чтобы доказать, что $-\frac{m}{3} > -1,5$, разделим обе части исходного неравенства на -3. Так как -3 — отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный (с «<» на «>»):

$\frac{m}{-3} > \frac{4,5}{-3}$

Выражение $\frac{m}{-3}$ эквивалентно $-\frac{m}{3}$. Вычислим значение правой части:

$\frac{4,5}{-3} = -1,5$

Таким образом, мы получаем неравенство $-\frac{m}{3} > -1,5$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в)

Начнем с данного неравенства $m < 4,5$. Чтобы доказать, что $\frac{m}{1,5} < 3$, разделим обе части исходного неравенства на 1,5. Так как 1,5 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$\frac{m}{1,5} < \frac{4,5}{1,5}$

Вычислим значение правой части:

$\frac{4,5}{1,5} = \frac{45}{15} = 3$

В результате получаем неравенство $\frac{m}{1,5} < 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г)

Возьмем исходное неравенство $m < 4,5$. Чтобы доказать, что $-\frac{m}{0,09} > -50$, разделим обе части исходного неравенства на -0,09. Так как -0,09 — отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с «<» на «>»):

$\frac{m}{-0,09} > \frac{4,5}{-0,09}$

Выражение $\frac{m}{-0,09}$ равносильно $-\frac{m}{0,09}$. Вычислим значение правой части:

$\frac{4,5}{-0,09} = -\frac{450}{9} = -50$

Следовательно, мы получаем неравенство $-\frac{m}{0,09} > -50$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

35.24 Докажите, что если $b > 0.5$, то:

а) $2b + 4 > 5$;

б) $-6b + 8 < 5$;

в) $4.5b - 3.25 > -1$;

г) $-7b - 2 < -5.5$.

а) Для доказательства неравенства $2b + 4 > 5$ воспользуемся исходным условием $b > 0,5$.
1. Умножим обе части неравенства $b > 0,5$ на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$b \cdot 2 > 0,5 \cdot 2$
$2b > 1$
2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число 4. Знак неравенства также не изменится:
$2b + 4 > 1 + 4$
$2b + 4 > 5$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства неравенства $-6b + 8 < 5$ воспользуемся исходным условием $b > 0,5$.
1. Умножим обе части неравенства $b > 0,5$ на отрицательное число -6. Знак неравенства при этом изменится на противоположный (с «>» на «<»):
$b \cdot (-6) < 0,5 \cdot (-6)$
$-6b < -3$
2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число 8. Знак неравенства не изменится:
$-6b + 8 < -3 + 8$
$-6b + 8 < 5$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Для доказательства неравенства $4,5b - 3,25 > -1$ воспользуемся исходным условием $b > 0,5$.
1. Умножим обе части неравенства $b > 0,5$ на положительное число 4,5. Знак неравенства не изменится:
$b \cdot 4,5 > 0,5 \cdot 4,5$
$4,5b > 2,25$
2. Вычтем из обеих частей полученного неравенства число 3,25. Знак неравенства не изменится:
$4,5b - 3,25 > 2,25 - 3,25$
$4,5b - 3,25 > -1$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

г) Для доказательства неравенства $-7b - 2 < -5,5$ воспользуемся исходным условием $b > 0,5$.
1. Умножим обе части неравенства $b > 0,5$ на отрицательное число -7. Знак неравенства изменится на противоположный:
$b \cdot (-7) < 0,5 \cdot (-7)$
$-7b < -3,5$
2. Вычтем из обеих частей полученного неравенства число 2. Знак неравенства не изменится:
$-7b - 2 < -3,5 - 2$
$-7b - 2 < -5,5$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.