Номер 35.19, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.19, страница 196.

Условие.

35.19 Известно, что $a, b, c, d$ — положительные числа, причём $a > b$, $d < b, c > a$. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$. Также заданы следующие соотношения между ними: $a > b$, $d < b$ и $c > a$. Требуется расположить в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$.

Шаг 1: Упорядочим числа a, b, c, d.
Из данных неравенств составим единую цепочку.
Из $a > b$ и $d < b$ следует, что $d$ — наименьшее из этих трёх чисел, а $a$ — наибольшее. Получаем $d < b < a$.
Из неравенства $c > a$ следует, что $c$ больше, чем $a$.
Объединяя все неравенства, получаем общую последовательность: $d < b < a < c$.

Шаг 2: Сравним обратные величины.
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Для положительных значений $x$ (а по условию все наши числа положительные) эта функция является убывающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$. Другими словами, при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный.

Шаг 3: Расположим обратные числа в порядке возрастания.
Применим свойство убывающей функции к полученной в Шаге 1 цепочке неравенств $d < b < a < c$.
Так как $d < b < a < c$, то для обратных величин будет справедливо:
$\frac{1}{d} > \frac{1}{b} > \frac{1}{a} > \frac{1}{c}$.
Это порядок убывания чисел. Чтобы расположить их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), необходимо записать эту последовательность в обратном порядке:
$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$.

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.