Номер 35.16, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.16, страница 196.

Условие.

35.16 Известно, что $m > n$. Объясните, на основании каких свойств числовых неравенств можно утверждать, что верно неравенство:

а) $-7m < -7n$;

б) $1 - m < 1 - n$;

в) $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$;

г) $5m + 13 < 5n + 13$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы из этого неравенства получить неравенство $-7m < -7n$, необходимо обе его части умножить на $-7$. Используем свойство числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Поскольку $-7 < 0$, при умножении на $-7$ знак «>» меняется на «<».
$m > n$ | $\cdot (-7)$
$m \cdot (-7) < n \cdot (-7)$
$-7m < -7n$
Таким образом, неравенство $-7m < -7n$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании свойства умножения обеих частей неравенства на отрицательное число, что требует изменения знака неравенства на противоположный.

б) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы получить неравенство $1 - m < 1 - n$, нужно выполнить два преобразования: 1. Умножить обе части исходного неравенства на $-1$. Так как $-1$ — отрицательное число, используем свойство умножения на отрицательное число и меняем знак неравенства на противоположный:
$m \cdot (-1) < n \cdot (-1)$
$-m < -n$
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $1$. Используем свойство: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.
$-m + 1 < -n + 1$
$1 - m < 1 - n$
Таким образом, неравенство $1 - m < 1 - n$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании последовательного применения двух свойств: умножения неравенства на отрицательное число (со сменой знака) и прибавления к обеим частям неравенства одного и того же числа.

в) Исходное неравенство: $m > n$. Чтобы получить неравенство $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$, необходимо обе части исходного неравенства разделить на $4$. Используем свойство числовых неравенств: при делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства не меняется. Поскольку $4 > 0$, знак неравенства «>» сохраняется.
$m > n$ | $: 4$
$\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$
Таким образом, неравенство $\frac{m}{4} > \frac{n}{4}$ является верным.
Ответ: Утверждение верно на основании свойства деления обеих частей неравенства на положительное число, при котором знак неравенства сохраняется.

г) Исходное неравенство: $m > n$. Проверим, можно ли из этого неравенства получить $5m + 13 < 5n + 13$. 1. Умножим обе части исходного неравенства на положительное число $5$. Согласно свойству, при умножении на положительное число знак неравенства не меняется:
$m \cdot 5 > n \cdot 5$
$5m > 5n$
2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число $13$. Согласно свойству, при прибавлении к обеим частям одного и того же числа знак неравенства не меняется:
$5m + 13 > 5n + 13$
Мы получили неравенство $5m + 13 > 5n + 13$, которое противоречит неравенству $5m + 13 < 5n + 13$ из условия задачи. Это означает, что при $m > n$ неравенство $5m + 13 < 5n + 13$ неверно. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.
Ответ: На основании свойств числовых неравенств и условия $m > n$ утверждать, что неравенство $5m + 13 < 5n + 13$ верно, нельзя. Из $m > n$ следует обратное неравенство: $5m + 13 > 5n + 13$.