Номер 35.26, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.26, страница 197.

Условие.

35.26 Докажите, что:

а) если $a > 2, b > 3$, то $3a + 5b > 21$;

б) если $a < 2b, b < c$, то $2a < 4c$;

в) если $a > 3, b > 5$, то $2a + 4b > 26$;

г) если $a \ge 5b, b \ge 2c$, то $3a \ge 30c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано, что $a > 2$ и $b > 3$. Для доказательства неравенства $3a + 5b > 21$ воспользуемся свойствами числовых неравенств.
1. Умножим обе части неравенства $a > 2$ на положительное число 3. Знак неравенства при этом сохранится:
$a \cdot 3 > 2 \cdot 3 \implies 3a > 6$.
2. Умножим обе части неравенства $b > 3$ на положительное число 5. Знак неравенства также сохранится:
$b \cdot 5 > 3 \cdot 5 \implies 5b > 15$.
3. Теперь сложим почленно полученные неравенства $3a > 6$ и $5b > 15$. Так как оба неравенства одного знака (строго больше), их можно складывать:
$3a + 5b > 6 + 15$
$3a + 5b > 21$.
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

б) Дано, что $a < 2b$ и $b < c$. Необходимо доказать, что $2a < 4c$.
1. Умножим обе части неравенства $b < c$ на положительное число 2. Знак неравенства сохранится:
$2 \cdot b < 2 \cdot c \implies 2b < 2c$.
2. Теперь у нас есть два неравенства: $a < 2b$ (из условия) и $2b < 2c$ (полученное).
3. Согласно свойству транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем заключить:
$a < 2c$.
4. Умножим обе части полученного неравенства $a < 2c$ на положительное число 2:
$2 \cdot a < 2 \cdot (2c) \implies 2a < 4c$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

в) Дано, что $a > 3$ и $b > 5$. Докажем, что $2a + 4b > 26$.
1. Умножим обе части неравенства $a > 3$ на положительное число 2. Знак неравенства сохранится:
$a \cdot 2 > 3 \cdot 2 \implies 2a > 6$.
2. Умножим обе части неравенства $b > 5$ на положительное число 4. Знак неравенства сохранится:
$b \cdot 4 > 5 \cdot 4 \implies 4b > 20$.
3. Сложим почленно полученные неравенства $2a > 6$ и $4b > 20$:
$2a + 4b > 6 + 20$
$2a + 4b > 26$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

г) Дано, что $a \ge 5b$ и $b \ge 2c$. Требуется доказать, что $3a \ge 30c$.
1. Воспользуемся свойством транзитивности для нестрогих неравенств. Сначала подставим второе неравенство в первое. Так как $b \ge 2c$, то $5b \ge 5 \cdot (2c) = 10c$.
2. Теперь у нас есть два неравенства: $a \ge 5b$ и $5b \ge 10c$.
3. По свойству транзитивности (если $x \ge y$ и $y \ge z$, то $x \ge z$), получаем:
$a \ge 10c$.
4. Умножим обе части полученного неравенства $a \ge 10c$ на положительное число 3. Знак неравенства не изменится:
$3 \cdot a \ge 3 \cdot (10c)$
$3a \ge 30c$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.