Номер 35.31, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.31, страница 197.

Условие.

35.31 Известно, что $m > 1$, $n > 4$. Оцените значение выражения:

а) $m + n + 4;$

б) $12 - 4n - 3m;$

в) $3 - 2m - 5n;$

г) $7m + 6n + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны два исходных неравенства: $m > 1$ и $n > 4$.

а) $m + n + 4$

Согласно свойству о сложении неравенств одного знака, мы можем сложить левые и правые части неравенств $m > 1$ и $n > 4$:

$m + n > 1 + 4$

$m + n > 5$

Теперь, согласно свойству о прибавлении числа к обеим частям неравенства, прибавим 4:

$(m + n) + 4 > 5 + 4$

$m + n + 4 > 9$

Ответ: $m + n + 4 > 9$.

б) $12 - 4n - 3m$

Сначала оценим выражение $3m + 4n$. Для этого умножим исходные неравенства на положительные коэффициенты 3 и 4 соответственно:

Из $m > 1$ следует, что $3m > 3 \cdot 1$, то есть $3m > 3$.

Из $n > 4$ следует, что $4n > 4 \cdot 4$, то есть $4n > 16$.

Сложим полученные неравенства:

$3m + 4n > 3 + 16$

$3m + 4n > 19$

Теперь преобразуем искомое выражение: $12 - 4n - 3m = 12 - (3m + 4n)$.

Так как $3m + 4n > 19$, то при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-(3m + 4n) < -19$.

Прибавим 12 к обеим частям последнего неравенства:

$12 - (3m + 4n) < 12 - 19$

$12 - 3m - 4n < -7$

Ответ: $12 - 4n - 3m < -7$.

в) $3 - 2m - 5n$

Оценим выражение $2m + 5n$. Умножим исходные неравенства на 2 и 5:

Из $m > 1$ следует, что $2m > 2 \cdot 1$, то есть $2m > 2$.

Из $n > 4$ следует, что $5n > 5 \cdot 4$, то есть $5n > 20$.

Сложим их:

$2m + 5n > 2 + 20$

$2m + 5n > 22$

Преобразуем выражение: $3 - 2m - 5n = 3 - (2m + 5n)$.

Так как $2m + 5n > 22$, то $-(2m + 5n) < -22$.

Прибавим 3 к обеим частям:

$3 - (2m + 5n) < 3 - 22$

$3 - 2m - 5n < -19$

Ответ: $3 - 2m - 5n < -19$.

г) $7m + 6n + 1$

Оценим сумму $7m + 6n$. Умножим исходные неравенства на 7 и 6:

Из $m > 1$ следует, что $7m > 7 \cdot 1$, то есть $7m > 7$.

Из $n > 4$ следует, что $6n > 6 \cdot 4$, то есть $6n > 24$.

Сложим полученные неравенства:

$7m + 6n > 7 + 24$

$7m + 6n > 31$

Прибавим 1 к обеим частям:

$(7m + 6n) + 1 > 31 + 1$

$7m + 6n + 1 > 32$

Ответ: $7m + 6n + 1 > 32$.