Номер 35.27, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.27, страница 197.

Условие.

35.27 Верно ли, что:

а) если $a > 3$, $b > 5$, то $ab > 15$;

б) если $a < 2$, $b < 3$, то $ab < 6$;

в) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

г) если $a < 6$, то $a^2 < 36$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) если $a > 3$, $b > 5$, то $ab > 15$;

Данное утверждение верно. По условию заданы два неравенства: $a > 3$ и $b > 5$. Из этих условий следует, что числа $a$ и $b$ являются положительными, так как они больше положительных чисел 3 и 5. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части двух неравенств одного знака положительны, то их можно почленно перемножить, при этом знак неравенства сохранится.

Перемножим левые и правые части неравенств: $a \cdot b > 3 \cdot 5$ $ab > 15$

Таким образом, из $a > 3$ и $b > 5$ действительно следует, что $ab > 15$.

Ответ: верно.

б) если $a < 2$, $b < 3$, то $ab < 6$;

Данное утверждение неверно. Свойство почленного умножения неравенств справедливо только в том случае, если все части неравенств являются положительными числами. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными, что может привести к нарушению итогового неравенства.

Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Возьмем отрицательные значения для $a$ и $b$, удовлетворяющие начальным условиям.

Пусть $a = -3$ и $b = -4$. Проверим начальные условия: $-3 < 2$ (верно) $-4 < 3$ (верно)

Теперь вычислим произведение $ab$: $ab = (-3) \cdot (-4) = 12$

Проверим конечное утверждение: $12 < 6$ (неверно)

Поскольку мы нашли контрпример, исходное утверждение является ложным.

Ответ: неверно.

в) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

Данное утверждение верно. Из условия $a > 4$ следует, что $a$ — положительное число. Для неравенств, обе части которых положительны, можно выполнить операцию возведения в квадрат, сохранив знак неравенства.

Возведем обе части неравенства $a > 4$ в квадрат: $a^2 > 4^2$ $a^2 > 16$

Также можно отметить, что функция $f(x) = x^2$ является строго возрастающей для всех $x > 0$. Так как $a > 4$, и оба числа находятся в области возрастания функции, то из $a > 4$ следует $f(a) > f(4)$, то есть $a^2 > 16$.

Ответ: верно.

г) если $a < 6$, то $a^2 < 36$?

Данное утверждение неверно. Условие $a < 6$ допускает, что $a$ может быть отрицательным числом. Функция $f(x) = x^2$ не является монотонной на всей числовой оси (она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$), поэтому простое возведение в квадрат частей неравенства недопустимо без дополнительного анализа.

Рассмотрим контрпример. Выберем значение $a$, удовлетворяющее условию $a < 6$, но такое, чтобы его квадрат не был меньше 36.

Пусть $a = -7$. Проверим начальное условие: $-7 < 6$ (верно)

Теперь вычислим квадрат $a$: $a^2 = (-7)^2 = 49$

Проверим конечное утверждение: $49 < 36$ (неверно)

Неравенство $a^2 < 36$ равносильно $|a| < 6$, что означает $-6 < a < 6$. Условие $a < 6$ является более широким и включает значения, для которых $|a| \ge 6$ (например, $a = -6, a = -7$ и т.д.), поэтому утверждение неверно.

Ответ: неверно.