Номер 35.28, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.28, страница 197.

Условие.

35.28 Верно ли, что:

а) если $a > 1$, то $\frac{6}{a} < 6$;

б) если $a < 2$, то $\frac{4}{a} > 2$;

в) если $a < 5$, то $\frac{15}{a} > 3$;

г) если $a > 7$, то $\frac{14}{a} < 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано условие $a > 1$. Это означает, что $a$ является положительным числом. Рассмотрим неравенство, истинность которого нужно проверить: $\frac{6}{a} < 6$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 1 > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится: $a \cdot \frac{6}{a} < 6 \cdot a$ $6 < 6a$ Теперь разделим обе части на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства снова не изменится: $\frac{6}{6} < \frac{6a}{6}$ $1 < a$ Мы получили исходное условие $a > 1$. Так как преобразования были равносильными, исходное утверждение верно.

Ответ: Верно.

б) Дано условие $a < 2$. В отличие от предыдущего пункта, здесь $a$ может быть как положительным, так и отрицательным (или равным нулю, но в знаменателе ноль быть не может). Рассмотрим неравенство $\frac{4}{a} > 2$. Чтобы проверить, верно ли утверждение, попробуем найти контрпример. Выберем такое значение $a$, которое удовлетворяет условию $a < 2$, но для которого неравенство $\frac{4}{a} > 2$ не выполняется. Рассмотрим случай, когда $a$ — отрицательное число. Например, пусть $a = -1$. Условие $a < 2$ выполняется, так как $-1 < 2$. Подставим $a = -1$ в проверяемое неравенство: $\frac{4}{-1} > 2$ $-4 > 2$ Полученное неравенство ложно. Так как мы нашли хотя бы одно значение $a$, при котором условие выполняется, а заключение — нет, то всё утверждение является неверным.

Ответ: Неверно.

в) Дано условие $a < 5$. Как и в пункте б), $a$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим неравенство $\frac{15}{a} > 3$. Проверим утверждение, подобрав контрпример. Возьмем отрицательное значение $a$, например, $a = -1$. Условие $a < 5$ выполняется, так как $-1 < 5$. Подставим $a = -1$ в неравенство $\frac{15}{a} > 3$: $\frac{15}{-1} > 3$ $-15 > 3$ Это неравенство очевидно ложно. Таким образом, утверждение неверно. Стоит отметить, что если бы было дано дополнительное условие $a > 0$, то утверждение было бы верным, так как из $0 < a < 5$ следовало бы, что $\frac{15}{a} > \frac{15}{5}$, то есть $\frac{15}{a} > 3$.

Ответ: Неверно.

г) Дано условие $a > 7$. Из этого следует, что $a$ — положительное число. Рассмотрим неравенство $\frac{14}{a} < 2$. Так как $a > 7$, то $a$ строго положительно. Мы можем умножить обе части неравенства на $a$, сохранив знак неравенства: $a \cdot \frac{14}{a} < 2 \cdot a$ $14 < 2a$ Теперь разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства также не изменится: $\frac{14}{2} < \frac{2a}{2}$ $7 < a$ Полученное неравенство $a > 7$ полностью совпадает с исходным условием. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.