Номер 35.36, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.36, страница 198.

Условие.

35.36 Известно, что $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ и $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$. Оцените значение выражения:

а) $\sqrt{8} + \sqrt{11}$;

б) $\sqrt{8} - \sqrt{11}$;

в) $\sqrt{8} + 2\sqrt{11}$;

г) $3\sqrt{8} - \sqrt{11}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи используются исходные неравенства $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ и $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ и свойства числовых неравенств.

а) $\sqrt{8} + \sqrt{11}$

Чтобы оценить сумму, сложим почленно данные неравенства. При сложении неравенств одного знака их знаки сохраняются.

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ 3,3 < \sqrt{11} < 3,4 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 + 3,3 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 2,9 + 3,4$

$6,1 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 6,3$

Ответ: $6,1 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 6,3$.

б) $\sqrt{8} - \sqrt{11}$

Чтобы оценить разность, представим ее в виде суммы $\sqrt{8} + (-\sqrt{11})$. Сначала найдем оценку для $-\sqrt{11}$. Для этого умножим все части неравенства $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на -1, изменив знаки неравенства на противоположные.

$-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$

Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{8}$:

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ -3,4 < -\sqrt{11} < -3,3 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 - 3,4 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < 2,9 - 3,3$

$-0,6 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < -0,4$

Ответ: $-0,6 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < -0,4$.

в) $\sqrt{8} + 2\sqrt{11}$

Сначала оценим выражение $2\sqrt{11}$. Умножим неравенство $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства сохраняются.

$2 \cdot 3,3 < 2\sqrt{11} < 2 \cdot 3,4$

$6,6 < 2\sqrt{11} < 6,8$

Теперь сложим это неравенство с неравенством для $\sqrt{8}$:

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ 6,6 < 2\sqrt{11} < 6,8 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 + 6,6 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 2,9 + 6,8$

$9,4 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 9,7$

Ответ: $9,4 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 9,7$.

г) $3\sqrt{8} - \sqrt{11}$

Для оценки этого выражения сначала найдем оценки для $3\sqrt{8}$ и $-\sqrt{11}$.

1. Оценим $3\sqrt{8}$. Умножим неравенство $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ на 3:

$3 \cdot 2,8 < 3\sqrt{8} < 3 \cdot 2,9$

$8,4 < 3\sqrt{8} < 8,7$

2. Оценка для $-\sqrt{11}$ была найдена в пункте б):

$-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$

3. Теперь сложим полученные неравенства:

$+\begin{cases} 8,4 < 3\sqrt{8} < 8,7 \\ -3,4 < -\sqrt{11} < -3,3 \end{cases}$

Получаем:

$8,4 - 3,4 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 8,7 - 3,3$

$5 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 5,4$

Ответ: $5 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 5,4$.