Номер 35.42, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.42, страница 198.

Условие.

35.42 a) $(x+1)(x-4) > (x+2)(x-5);$

б) $(t-3)(t+4) < (t-1)(t+2);$

в) $(a+2)(a+6) < (a+5)(a+3);$

г) $(b-4)(b+6) < (b-3)(b-1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим неравенство $(x + 1)(x - 4) > (x + 2)(x - 5)$.
Сначала раскроем скобки в левой и правой частях неравенства:
Левая часть: $(x + 1)(x - 4) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4$
Правая часть: $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 - 3x - 4 > x^2 - 3x - 10$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 4 - x^2 + 3x + 10 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (-4 + 10) > 0$
$6 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(t - 3)(t + 4) < (t - 1)(t + 2)$.
Раскроем скобки:
$t^2 + 4t - 3t - 12 < t^2 + 2t - t - 2$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$t^2 + t - 12 < t^2 + t - 2$
Вычтем из обеих частей $t^2$ и $t$:
$t^2 + t - 12 - t^2 - t < t^2 + t - 2 - t^2 - t$
$-12 < -2$
Получилось верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении переменной $t$.
Ответ: $t \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(a + 2)(a + 6) < (a + 5)(a + 3)$.
Раскроем скобки:
$a^2 + 6a + 2a + 12 < a^2 + 3a + 5a + 15$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 8a + 12 < a^2 + 8a + 15$
Вычтем из обеих частей $a^2$ и $8a$:
$a^2 + 8a + 12 - a^2 - 8a < a^2 + 8a + 15 - a^2 - 8a$
$12 < 15$
Это верное числовое неравенство, не зависящее от $a$. Значит, исходное неравенство справедливо при любом значении $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(b - 4)(b + 6) < (b - 3)(b - 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$b^2 + 6b - 4b - 24 < b^2 - b - 3b + 3$
Приведем подобные слагаемые:
$b^2 + 2b - 24 < b^2 - 4b + 3$
Перенесем члены с переменной $b$ в левую часть, а числовые члены (константы) - в правую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный.
$b^2 + 2b - b^2 + 4b < 3 + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$6b < 27$
Разделим обе части неравенства на положительное число 6 (знак неравенства при этом не меняется):
$b < \frac{27}{6}$
Сократим дробь:
$b < \frac{9}{2}$
Или в виде десятичной дроби:
$b < 4.5$
Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; 4.5)$.
Ответ: $b \in (-\infty; 4.5)$.