Номер 35.45, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.45, страница 198.

Условие.

35.45 a) $\frac{p}{q} + \frac{q}{p} \le -2$, если $pq < 0$;

б) $\frac{(m+n)^2}{2} \le m^2 + n^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{p}{q} + \frac{q}{p} \le -2$ при условии $pq < 0$, выполним следующие преобразования.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $pq$: $\frac{p^2}{pq} + \frac{q^2}{pq} \le -2$

$\frac{p^2 + q^2}{pq} \le -2$

По условию $pq < 0$, поэтому при умножении обеих частей неравенства на $pq$ знак неравенства изменится на противоположный: $p^2 + q^2 \ge -2pq$

Перенесем член $-2pq$ в левую часть неравенства: $p^2 + 2pq + q^2 \ge 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(p+q)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $p$ и $q$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше либо равен нулю). Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{(m+n)^2}{2} \le m^2 + n^2$, преобразуем его.

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится: $(m+n)^2 \le 2(m^2 + n^2)$

Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: $m^2 + 2mn + n^2 \le 2m^2 + 2n^2$

Перенесем все члены в правую часть: $0 \le 2m^2 + 2n^2 - m^2 - 2mn - n^2$

Приведем подобные слагаемые в правой части: $0 \le m^2 - 2mn + n^2$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $0 \le (m-n)^2$

Данное неравенство справедливо для любых действительных чисел $m$ и $n$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.