Номер 35.46, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.46, страница 199.

Условие.

Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите неравенство:

35.46 а) $x^2 - 6x + 14 > 0;$

б) $a^2 + 10 > -6a;$

в) $y^2 + 70 > 16y;$

г) $b^2 + 20 > -8b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы доказать неравенство $x^2 - 6x + 14 > 0$, выделим в его левой части полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение $x^2 - 6x$ как начало полного квадрата: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем 9:

$x^2 - 6x + 14 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 14 = (x-3)^2 + 5$.

Неравенство принимает вид $(x-3)^2 + 5 > 0$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \geq 0$ при любом значении $x$. Наименьшее значение выражения $(x-3)^2$ равно 0 (достигается при $x=3$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x-3)^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$.

Так как $5 > 0$, то и выражение $(x-3)^2 + 5$ всегда больше нуля. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Рассмотрим неравенство $a^2 + 10 > -6a$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить $a^2 + 6a + 10 > 0$.

Выделим в левой части полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Выражение $a^2 + 6a$ можно представить как $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3$. Для полного квадрата нужен член $3^2=9$.

$a^2 + 6a + 10 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 10 = (a+3)^2 + 1$.

Неравенство принимает вид $(a+3)^2 + 1 > 0$.

Так как $(a+3)^2 \geq 0$ для любого действительного $a$, наименьшее значение левой части неравенства достигается при $a=-3$ и равно $0+1=1$.

Поскольку $1 > 0$, выражение $(a+3)^2 + 1$ всегда положительно. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Рассмотрим неравенство $y^2 + 70 > 16y$. Перенесем $16y$ в левую часть: $y^2 - 16y + 70 > 0$.

Выделим полный квадрат в левой части. Выражение $y^2 - 16y$ можно представить как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 8$. Для полного квадрата не хватает $8^2=64$.

$y^2 - 16y + 70 = (y^2 - 16y + 64) - 64 + 70 = (y-8)^2 + 6$.

Неравенство принимает вид $(y-8)^2 + 6 > 0$.

Квадрат любого выражения $(y-8)^2$ не может быть отрицательным, то есть $(y-8)^2 \geq 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 (при $y=8$).

Тогда наименьшее значение левой части неравенства равно $0 + 6 = 6$. Так как $6 > 0$, то неравенство верно для любого значения $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Рассмотрим неравенство $b^2 + 20 > -8b$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $b^2 + 8b + 20 > 0$.

Выделим в левой части полный квадрат. Выражение $b^2 + 8b$ можно представить как $b^2 + 2 \cdot b \cdot 4$. Для полного квадрата нужно слагаемое $4^2=16$.

$b^2 + 8b + 20 = (b^2 + 8b + 16) - 16 + 20 = (b+4)^2 + 4$.

Неравенство принимает вид $(b+4)^2 + 4 > 0$.

Выражение $(b+4)^2$ всегда неотрицательно: $(b+4)^2 \geq 0$ для любого $b$. Его наименьшее значение равно 0 (при $b=-4$).

Следовательно, наименьшее значение выражения $(b+4)^2 + 4$ равно $0+4=4$. Так как $4 > 0$, то неравенство всегда верно.

Ответ: Неравенство доказано.