Номер 35.40, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.40, страница 198.

Условие.

35.40 a) $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0;$

б) $9m^2 + 6mn \ge -n^2;$

в) $2pq \le p^2 + q^2;$

г) $4c^2 + 9d^2 \ge 12cd.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное неравенство: $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0$.
Левая часть этого неравенства представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат суммы. Вспомним формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Применив эту формулу к нашему выражению, где $a=x$ и $b=y$, получаем:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x+y)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа (в данном случае, числа $x+y$) всегда является неотрицательной величиной, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство верно для любых действительных значений $x$ и $y$.
Ответ: Доказано.

б) Исходное неравенство: $9m^2 + 6mn \ge -n^2$.
Для доказательства перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, изменив знак у $-n^2$ на противоположный:
$9m^2 + 6mn + n^2 \ge 0$.
Заметим, что левая часть полученного неравенства является полным квадратом суммы. Представим $9m^2$ как $(3m)^2$ и $6mn$ как $2 \cdot (3m) \cdot n$.
Выражение принимает вид $(3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2$, что соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3m$ и $b=n$.
Сворачиваем левую часть по формуле:
$(3m+n)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно для любых действительных значений $m$ и $n$.
Ответ: Доказано.

в) Исходное неравенство: $2pq \le p^2 + q^2$.
Перенесем $2pq$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$0 \le p^2 - 2pq + q^2$.
Это неравенство эквивалентно следующему:
$p^2 - 2pq + q^2 \ge 0$.
Левая часть является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Применив эту формулу, где $a=p$ и $b=q$, получим:
$(p-q)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство справедливо для любых действительных значений $p$ и $q$.
Ответ: Доказано.

г) Исходное неравенство: $4c^2 + 9d^2 \ge 12cd$.
Перенесем слагаемое $12cd$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$4c^2 - 12cd + 9d^2 \ge 0$.
Рассмотрим левую часть неравенства. Представим $4c^2$ как $(2c)^2$ и $9d^2$ как $(3d)^2$. Тогда слагаемое $12cd$ можно записать как $2 \cdot (2c) \cdot (3d)$.
Выражение в левой части принимает вид: $(2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot (3d) + (3d)^2$.
Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2c$ и $b=3d$.
Свернем выражение по формуле:
$(2c-3d)^2 \ge 0$.
Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, данное неравенство выполняется для любых действительных значений $c$ и $d$.
Ответ: Доказано.