Номер 35.44, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.44, страница 198.

Условие.

35.44 а) $\frac{a^2 + b^2}{2ab} \ge 1$, если $ab > 0$;

б) $25r + \frac{1}{r} \le -10$, если $r < 0$;

в) $y + \frac{9}{y} \ge 6$, если $y > 0$;

г) $n + \frac{16}{n} \le -8$, если $n < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{a^2 + b^2}{2ab} \geq 1$ при условии $ab > 0$, выполним следующие преобразования.
Поскольку по условию $ab > 0$, то и знаменатель $2ab$ также положителен. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $2ab$, сохранив знак неравенства:
$a^2 + b^2 \geq 2ab$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$
Выражение в левой части представляет собой формулу квадрата разности:
$(a - b)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (т.е. больше или равен нулю). Таким образом, последнее неравенство верно для любых $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при заданном условии.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать неравенство $25r + \frac{1}{r} \leq -10$ при условии $r < 0$, выполним преобразования.
Поскольку по условию $r < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $r$ необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$r \cdot (25r + \frac{1}{r}) \geq r \cdot (-10)$
$25r^2 + 1 \geq -10r$
Перенесем все члены в левую часть:
$25r^2 + 10r + 1 \geq 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы:
$(5r + 1)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно для любого $r$. Так как все преобразования были равносильными (с учетом смены знака), исходное неравенство также верно при $r < 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать неравенство $y + \frac{9}{y} \geq 6$ при условии $y > 0$, преобразуем его.
Поскольку по условию $y > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $y$, сохранив знак неравенства:
$y \cdot (y + \frac{9}{y}) \geq y \cdot 6$
$y^2 + 9 \geq 6y$
Перенесем все члены в левую часть:
$y^2 - 6y + 9 \geq 0$
В левой части находится формула квадрата разности:
$(y - 3)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, данное неравенство верно при любом $y$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при $y > 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать неравенство $n + \frac{16}{n} \leq -8$ при условии $n < 0$, выполним преобразования.
Поскольку по условию $n < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $n$ необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$n \cdot (n + \frac{16}{n}) \geq n \cdot (-8)$
$n^2 + 16 \geq -8n$
Перенесем все члены в левую часть:
$n^2 + 8n + 16 \geq 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы:
$(n + 4)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно при любом $n$. Так как все преобразования были равносильными (с учетом смены знака), исходное неравенство также верно при $n < 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.