Номер 35.49, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.49, страница 199.

Условие.

Сравните числа a и b, если:

35.49 а) $a = \sqrt{5}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{8}$;

б) $a = \sqrt{3}$, $b = \frac{7}{6}\sqrt{2}$;

в) $a = \sqrt{8}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{13}$;

г) $a = \sqrt{7}$, $b = \frac{3}{5}\sqrt{19}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $a = \sqrt{5}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{8}$

Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, мы можем сравнить их квадраты, так как оба числа являются положительными. Если $a^2 > b^2$, то $a > b$, и наоборот.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{4}{5}\sqrt{8})^2 = (\frac{4}{5})^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = \frac{16}{25} \cdot 8 = \frac{128}{25}$

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$. Для этого приведем число $5$ к дроби со знаменателем 25:

$5 = \frac{5 \cdot 25}{25} = \frac{125}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{125}{25}$ и $\frac{128}{25}$.

Так как $125 < 128$, то $\frac{125}{25} < \frac{128}{25}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$, а поскольку $a$ и $b$ положительны, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sqrt{3}$, $b = \frac{7}{6}\sqrt{2}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{7}{6}\sqrt{2})^2 = (\frac{7}{6})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{49}{36} \cdot 2 = \frac{98}{36} = \frac{49}{18}$

Теперь сравним $a^2 = 3$ и $b^2 = \frac{49}{18}$. Приведем число 3 к знаменателю 18:

$3 = \frac{3 \cdot 18}{18} = \frac{54}{18}$

Сравниваем дроби $\frac{54}{18}$ и $\frac{49}{18}$.

Так как $54 > 49$, то $\frac{54}{18} > \frac{49}{18}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$, а значит $a > b$.

Ответ: $a > b$.

в) $a = \sqrt{8}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{13}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{4}{5}\sqrt{13})^2 = (\frac{4}{5})^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = \frac{16}{25} \cdot 13 = \frac{208}{25}$

Теперь сравним $a^2 = 8$ и $b^2 = \frac{208}{25}$. Приведем число 8 к знаменателю 25:

$8 = \frac{8 \cdot 25}{25} = \frac{200}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{200}{25}$ и $\frac{208}{25}$.

Так как $200 < 208$, то $\frac{200}{25} < \frac{208}{25}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$, а значит $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) $a = \sqrt{7}$, $b = \frac{3}{5}\sqrt{19}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{3}{5}\sqrt{19})^2 = (\frac{3}{5})^2 \cdot (\sqrt{19})^2 = \frac{9}{25} \cdot 19 = \frac{171}{25}$

Теперь сравним $a^2 = 7$ и $b^2 = \frac{171}{25}$. Приведем число 7 к знаменателю 25:

$7 = \frac{7 \cdot 25}{25} = \frac{175}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{175}{25}$ и $\frac{171}{25}$.

Так как $175 > 171$, то $\frac{175}{25} > \frac{171}{25}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$, а значит $a > b$.

Ответ: $a > b$.