Номер 35.55, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.55, страница 200.

Условие.

35.55 Можно ли утверждать, что $a > b$, если:

а) $3a + 12 > 3b + 10;$

б) $\frac{2a}{b} > 2;$

в) $7a > 5b;$

г) $\frac{a}{b} > \frac{b}{a}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Преобразуем данное неравенство $3a + 12 > 3b + 10$.
Вычтем из обеих частей $3b$ и 12:
$3a - 3b > 10 - 12$
$3(a - b) > -2$
Разделим обе части на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется):
$a - b > -2/3$
Полученное неравенство не означает, что $a > b$ (то есть, что $a - b > 0$). Например, разность $a - b$ может быть отрицательным числом, скажем $-0.5$, что удовлетворяет условию $a - b > -2/3$, но при этом будет $a < b$.
Приведем контрпример: пусть $a=1$, $b=1.5$. В этом случае $a < b$.
Проверим исходное условие: $3a + 12 = 3(1) + 12 = 15$; $3b + 10 = 3(1.5) + 10 = 4.5 + 10 = 14.5$.
Так как $15 > 14.5$, исходное неравенство выполняется, однако $a < b$.
Следовательно, утверждать, что $a > b$, нельзя.
Ответ: нельзя.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{2a}{b} > 2$.
Разделим обе части на 2 (положительное число):
$\frac{a}{b} > 1$
Дальнейший вывод зависит от знака переменной $b$.
1. Если $b > 0$, то, умножив обе части на $b$, получим $a > b$.
2. Если $b < 0$, то при умножении на $b$ знак неравенства меняется на противоположный: $a < b$.
Поскольку знак $b$ в условии не указан, мы не можем однозначно утверждать, что $a > b$.
Приведем контрпример для случая $b < 0$. Пусть $b = -2$ и $a = -3$. В этом случае $a < b$.
Проверим исходное условие: $\frac{2a}{b} = \frac{2(-3)}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$.
Неравенство $3 > 2$ выполняется, но при этом $a < b$.
Ответ: нельзя.

в) Рассмотрим неравенство $7a > 5b$.
Это неравенство не позволяет однозначно определить, какое из чисел больше, $a$ или $b$. Соотношение между ними будет зависеть от конкретных значений.
Приведем контрпример. Пусть $a = 5$ и $b = 6$. В этом случае $a < b$.
Проверим исходное условие:
$7a = 7 \cdot 5 = 35$
$5b = 5 \cdot 6 = 30$
Неравенство $35 > 30$ выполняется, но при этом $a < b$.
Следовательно, утверждать, что $a > b$, нельзя.
Ответ: нельзя.

г) Рассмотрим неравенство $\frac{a}{b} > \frac{b}{a}$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} > 0$
$\frac{a^2 - b^2}{ab} > 0$
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} > 0$
Истинность этого сложного неравенства зависит от знаков четырех выражений: $(a-b)$, $(a+b)$, $a$ и $b$. Вывод, что $a-b > 0$ (то есть $a > b$), не является единственно возможным.
Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ и $b = -2$. В этом случае $a < b$.
Проверим исходное условие:
Левая часть: $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$
Правая часть: $\frac{b}{a} = \frac{-2}{-3} \approx 0.67$
Неравенство $1.5 > 0.67$ выполняется, но при этом $a < b$.
Следовательно, утверждать, что $a > b$, нельзя.
Ответ: нельзя.