Номер 35.60, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.60, страница 200.

Условие.

35.60 а) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)$;

б) $(x^2 - y^2)^2 \ge 4xy(x - y)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для доказательства неравенства $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)$ перенесём все члены в левую часть:
$2a^2 + b^2 + c^2 - 2a(b + c) \ge 0$
Раскроем скобки:
$2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac \ge 0$
Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$ и сгруппируем члены таким образом, чтобы выделить полные квадраты:
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) \ge 0$
Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, свернём выражения в скобках:
$(a - b)^2 + (a - c)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a - b)^2 \ge 0$ и $(a - c)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Следовательно, полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $(x^2 - y^2)^2 \ge 4xy(x - y)^2$ преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$((x - y)(x + y))^2 \ge 4xy(x - y)^2$
$(x - y)^2(x + y)^2 \ge 4xy(x - y)^2$
Перенесём все члены в левую часть:
$(x - y)^2(x + y)^2 - 4xy(x - y)^2 \ge 0$
Вынесем общий множитель $(x - y)^2$ за скобки:
$(x - y)^2 \cdot ((x + y)^2 - 4xy) \ge 0$
Теперь преобразуем выражение во вторых скобках, раскрыв квадрат суммы:
$(x + y)^2 - 4xy = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = x^2 - 2xy + y^2$
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Подставим его обратно в неравенство:
$(x - y)^2 \cdot (x - y)^2 \ge 0$
$(x - y)^4 \ge 0$
Четвёртая степень любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, полученное неравенство верно для любых действительных чисел $x$ и $y$, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.