Номер 35.63, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.63, страница 200.

Условие.

35.63 $\sqrt{a^2 + b^2} \le a + b$, если $a \ge 0, b \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

35.63

Требуется доказать неравенство $\sqrt{a^2 + b^2} \le a + b$ при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Рассмотрим обе части неравенства. Левая часть, $\sqrt{a^2 + b^2}$, является значением арифметического квадратного корня, поэтому она всегда неотрицательна. Правая часть, $a + b$, является суммой двух неотрицательных чисел (согласно условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$), следовательно, она также неотрицательна.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. При возведении в квадрат неотрицательных выражений знак неравенства сохраняется.

$(\sqrt{a^2 + b^2})^2 \le (a + b)^2$

Упростим обе части полученного неравенства. В левой части, по определению квадратного корня, получаем:

$(\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2$

В правой части используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:

$a^2 + b^2 \le a^2 + 2ab + b^2$

Вычтем из обеих частей неравенства слагаемые $a^2$ и $b^2$:

$0 \le 2ab$

Разделим обе части на положительное число 2:

$0 \le ab$

Полученное неравенство $ab \ge 0$ является верным, так как по условию задачи $a \ge 0$ и $b \ge 0$, а произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно. Так как все преобразования были равносильными (поскольку мы работали с неотрицательными выражениями), то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство $\sqrt{a^2 + b^2} \le a + b$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$ доказано.