Номер 35.65, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.65, страница 200.

Условие.

35.65 $ \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $, если $a > 0, b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства неравенства $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$ при заданных условиях $a > 0, b > 0$ выполним равносильные преобразования.

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то и $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$ и $\sqrt{ab}$ положительны. Умножим обе части исходного неравенства на положительное число $\sqrt{ab}$. Знак неравенства при этом не изменится.

$$ \sqrt{ab} \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \right) \ge \sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$

Раскроем скобки в обеих частях:

$$ \frac{a\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{b\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \ge \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{b} $$

$$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} \ge a\sqrt{b} + b\sqrt{a} $$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} - a\sqrt{b} - b\sqrt{a} \ge 0 $$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$$ (a\sqrt{a} - a\sqrt{b}) - (b\sqrt{a} - b\sqrt{b}) \ge 0 $$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$ a(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - b(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \ge 0 $$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$$ (a-b)(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \ge 0 $$

Используем формулу разности квадратов для выражения $(a-b)$, представив $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$:

$$ a-b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$

Подставим это разложение в наше неравенство:

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \ge 0 $$

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \ge 0 $$

Проанализируем полученное неравенство. Оно является верным для любых $a > 0, b > 0$, поскольку:

1. $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным.
2. $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) > 0$, так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, а значит, их квадратные корни положительны, и их сумма также положительна.

Произведение неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно, поэтому неравенство $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \ge 0$ истинно.

Так как все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство является верным.

Равенство в данном неравенстве достигается тогда, когда $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$, то есть при $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, что эквивалентно $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно выполняется для всех положительных $a$ и $b$. Равенство достигается при $a=b$.