Номер 35.59, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.59, страница 200.

Условие.

Докажите неравенство:

35.59 a) $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 > 0;$

б) $(a + b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для доказательства неравенства $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 > 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить квадрат суммы $(a+b)$: $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 = (a^2 + 2ab + b^2) + b^2 + 2b + 2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат $(a+b)^2$: $(a+b)^2 + b^2 + 2b + 2$

Теперь выделим полный квадрат из оставшихся слагаемых, содержащих переменную $b$: $b^2 + 2b + 2 = (b^2 + 2b + 1) + 1 = (b+1)^2 + 1$

Подставим это обратно в выражение: $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 = (a+b)^2 + (b+1)^2 + 1$

Рассмотрим полученную сумму. Выражение $(a+b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a+b)^2 \ge 0$.

Аналогично, выражение $(b+1)^2$ также является квадратом и всегда неотрицательно: $(b+1)^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма этих квадратов плюс 1 всегда будет больше или равна 1: $(a+b)^2 + (b+1)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$

Поскольку $1 > 0$, то и исходное выражение всегда строго больше нуля: $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 > 0$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $(a + b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$ преобразуем его левую часть. Для того чтобы дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ были определены, переменные $a$ и $b$ не должны быть равны нулю. Также из условия следует, что $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Если $a$ и $b$ имеют разные знаки, то произведение может быть отрицательным, и неравенство не будет выполняться.

Раскроем скобки в левой части неравенства: $(a + b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

Теперь нам нужно доказать, что $2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$, что эквивалентно неравенству: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

Обозначим $x = \frac{a}{b}$. Поскольку $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, то $x > 0$. Неравенство принимает вид: $x + \frac{1}{x} \ge 2$

Умножим обе части неравенства на $x$. Так как $x > 0$, знак неравенства не изменится: $x^2 + 1 \ge 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(x - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любого действительного значения $x$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $x=1$, то есть когда $\frac{a}{b}=1$, что означает $a=b$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.