Номер 35.57, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.57, страница 200.

Условие.

35.57 Верно ли, что:

а) если $\frac{2}{a-3} > 1$, то $3 < a < 5$;

б) если $\frac{8}{a-2} > 2$, то $2 < a < 6$;

в) если $\frac{1}{a-2} < 1$, то $a > 3$;

г) если $\frac{12}{a-1} < 3$, то $a > 5?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы проверить истинность утверждения, необходимо решить неравенство $\frac{2}{a-3} > 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $\frac{2}{a-3} - 1 > 0$.
Приведем выражение к общему знаменателю: $\frac{2 - (a-3)}{a-3} > 0$.
Упростим числитель: $\frac{2 - a + 3}{a-3} > 0$, что равносильно $\frac{5-a}{a-3} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=5$ и $a=3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 3)$, $(3, 5)$ и $(5, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для $a \in (3, 5)$, например $a=4$, получаем $\frac{5-4}{4-3} = 1 > 0$.
- Для $a \in (-\infty, 3)$ или $a \in (5, \infty)$, выражение будет отрицательным.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $3 < a < 5$.
Поскольку решение неравенства полностью совпадает с условием, утверждение верно.
Ответ: да, верно.

б) Решим неравенство $\frac{8}{a-2} > 2$.
Поскольку $2 > 0$, можно разделить обе части на 2: $\frac{4}{a-2} > 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $\frac{4}{a-2} - 1 > 0$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{4 - (a-2)}{a-2} > 0$.
Упростим числитель: $\frac{4 - a + 2}{a-2} > 0$, что равносильно $\frac{6-a}{a-2} > 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=6$ и $a=2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 6)$ и $(6, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для $a \in (2, 6)$, например $a=3$, получаем $\frac{6-3}{3-2} = 3 > 0$.
- Для $a \in (-\infty, 2)$ или $a \in (6, \infty)$, выражение будет отрицательным.
Решением неравенства является интервал $2 < a < 6$.
Решение полностью совпадает с условием, следовательно, утверждение верно.
Ответ: да, верно.

в) Решим неравенство $\frac{1}{a-2} < 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $\frac{1}{a-2} - 1 < 0$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{1 - (a-2)}{a-2} < 0$.
Упростим числитель: $\frac{1 - a + 2}{a-2} < 0$, что равносильно $\frac{3-a}{a-2} < 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=3$ и $a=2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для $a \in (-\infty, 2)$, например $a=0$, получаем $\frac{3-0}{0-2} = -1.5 < 0$.
- Для $a \in (3, \infty)$, например $a=4$, получаем $\frac{3-4}{4-2} = -0.5 < 0$.
- Для $a \in (2, 3)$, выражение будет положительным.
Решением неравенства является объединение интервалов $a < 2$ или $a > 3$.
Утверждение гласит, что из неравенства следует $a > 3$. Но это только часть решения. Неравенство также верно для $a < 2$. Например, при $a=1$, исходное неравенство $\frac{1}{1-2} < 1$ (т.е. $-1 < 1$) истинно, но заключение $a > 3$ (т.е. $1 > 3$) ложно. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

г) Решим неравенство $\frac{12}{a-1} < 3$.
Разделим обе части на 3: $\frac{4}{a-1} < 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $\frac{4}{a-1} - 1 < 0$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{4 - (a-1)}{a-1} < 0$.
Упростим числитель: $\frac{4 - a + 1}{a-1} < 0$, что равносильно $\frac{5-a}{a-1} < 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=5$ и $a=1$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 1)$, $(1, 5)$ и $(5, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для $a \in (-\infty, 1)$, например $a=0$, получаем $\frac{5-0}{0-1} = -5 < 0$.
- Для $a \in (5, \infty)$, например $a=6$, получаем $\frac{5-6}{6-1} = -0.2 < 0$.
- Для $a \in (1, 5)$, выражение будет положительным.
Решением неравенства является объединение интервалов $a < 1$ или $a > 5$.
Утверждение гласит, что из неравенства следует $a > 5$. Это лишь часть решения. Например, при $a=0$, исходное неравенство $\frac{12}{0-1} < 3$ (т.е. $-12 < 3$) истинно, но заключение $a > 5$ (т.е. $0 > 5$) ложно. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.