Номер 35.56, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.56, страница 200.

Условие.

35.56 Верно ли, что:

а) если $x^2y \ge 0$, то $y \ge 0$;

б) если $\frac{x}{y^2} \ge 0$, то $x \ge 0$;

в) если $xy^2 < 0$, то $x < 0$;

г) если $\frac{x^2}{y} \ge 0$, то $x > 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы один контрпример.
Рассмотрим случай, когда $x=0$. Тогда неравенство $x^2y \ge 0$ принимает вид $0^2 \cdot y \ge 0$, что равносильно $0 \ge 0$. Это верное равенство, которое выполняется при любом значении $y$.
Возьмем, например, $x=0$ и $y=-5$. Условие $x^2y \ge 0$ выполняется, так как $0^2 \cdot (-5) = 0$. Однако заключение $y \ge 0$ неверно, поскольку $-5 < 0$.
Следовательно, из того, что $x^2y \ge 0$, не всегда следует, что $y \ge 0$.
Ответ: неверно.

б) Утверждение верно.
В выражении $\frac{x}{y^2}$ знаменатель $y^2$ не может быть равен нулю, следовательно, $y \ne 0$.
Для любого действительного числа $y \ne 0$ его квадрат $y^2$ является строго положительным числом, то есть $y^2 > 0$.
Рассмотрим неравенство $\frac{x}{y^2} \ge 0$. Поскольку знаменатель $y^2$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя $x$. Чтобы дробь была неотрицательной (больше или равна нулю), числитель также должен быть неотрицательным.
Таким образом, $x \ge 0$.
Ответ: верно.

в) Утверждение верно.
Рассмотрим неравенство $xy^2 < 0$. Из него следует, что произведение не равно нулю, а значит $x \ne 0$ и $y^2 \ne 0$. Условие $y^2 \ne 0$ означает, что $y \ne 0$.
Для любого действительного числа $y \ne 0$ его квадрат $y^2$ является строго положительным числом, то есть $y^2 > 0$.
Произведение $x \cdot y^2$ будет отрицательным тогда и только тогда, когда множители имеют разные знаки. Поскольку мы установили, что $y^2 > 0$, для выполнения неравенства $xy^2 < 0$ необходимо, чтобы множитель $x$ был отрицательным.
Следовательно, $x < 0$.
Ответ: верно.

г) Утверждение неверно.
В выражении $\frac{x^2}{y}$ знаменатель $y$ не может быть равен нулю ($y \ne 0$). Числитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
Рассмотрим случай, когда $x=0$. Неравенство $\frac{x^2}{y} \ge 0$ принимает вид $\frac{0^2}{y} \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это верное равенство при любом $y \ne 0$, как при положительном, так и при отрицательном.
Возьмем контрпример: $x=0$ и $y=-2$. Условие $\frac{x^2}{y} \ge 0$ выполняется, так как $\frac{0^2}{-2} = 0$. Однако заключение $y > 0$ неверно, так как $-2 < 0$.
Таким образом, из того, что $\frac{x^2}{y} \ge 0$, не всегда следует, что $y > 0$.
Ответ: неверно.