Номер 35.62, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.62, страница 200.

Условие.

35.62 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$, если $a > 0, b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Нам необходимо доказать неравенство $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ при условиях $a > 0$ и $b > 0$.

Поскольку по условию переменные $a$ и $b$ строго положительны, то выражения $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$ и $\sqrt{a+b}$ определены и также являются положительными числами.

Так как обе части неравенства являются положительными, мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование является равносильным, и знак неравенства при этом не изменится.

Возведем левую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Возведем правую часть в квадрат:
$(\sqrt{a+b})^2 = a+b$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:
$a + b + 2\sqrt{ab} > a+b$.

Вычтем из обеих частей этого неравенства сумму $(a+b)$:
$a + b + 2\sqrt{ab} - (a+b) > a+b - (a+b)$
$2\sqrt{ab} > 0$.

Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также будет строго больше нуля ($ab > 0$). Квадратный корень из положительного числа $\sqrt{ab}$ является положительным числом. Умножение на 2 не меняет знака, поэтому неравенство $2\sqrt{ab} > 0$ является верным.

Поскольку в результате равносильных преобразований мы пришли к верному неравенству, то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ при $a > 0, b > 0$ доказано.