Номер 35.64, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.64, страница 200.

Условие.

35.64 $\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$, если $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$, $d \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Поскольку по условию $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, d \ge 0$, все выражения под радикалами (корнями) неотрицательны. Это означает, что обе части неравенства определены и также неотрицательны. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства при этом не изменится.

Возводим в квадрат обе части исходного неравенства $\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$: $(\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2$.

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части корень и квадрат взаимно уничтожаются. В правой части используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $(a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ab})^2 + 2(\sqrt{ab})(\sqrt{cd}) + (\sqrt{cd})^2$.

Выполним умножение в левой части и упростим правую часть: $ab + ad + bc + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd$.

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $ab$ и $cd$: $ad + bc \ge 2\sqrt{abcd}$.

Полученное неравенство является известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (также известным как неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо, что их среднее арифметическое больше или равно их среднему геометрическому: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, что эквивалентно $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

В нашем случае мы можем положить $x = ad$ и $y = bc$. Так как $a, b, c, d \ge 0$, то и $x, y$ неотрицательны. Применив к ним неравенство Коши, получаем: $ad + bc \ge 2\sqrt{(ad)(bc)}$, что то же самое, что и $ad + bc \ge 2\sqrt{abcd}$.

Мы свели исходное неравенство к верному неравенству с помощью равносильных преобразований. Следовательно, исходное неравенство также верно. Равенство в нем достигается тогда же, когда и в примененном неравенстве Коши, то есть при $x=y$, что означает $ad=bc$.

Ответ: Неравенство доказано.