Номер 35.58, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.58, страница 200.

Условие.

35.58 Докажите неравенство $\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a} \ge 4$, если известно, что $a$ и $b$ – числа одного знака.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

По условию задачи, числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак. Это означает, что либо $a > 0$ и $b > 0$, либо $a < 0$ и $b < 0$. В обоих случаях их частное $\frac{a}{b}$ является положительным числом, то есть $\frac{a}{b} > 0$.

Рассмотрим слагаемые в левой части доказываемого неравенства. Так как $\frac{a}{b} > 0$ и, соответственно, $\frac{b}{a} = 1 / (\frac{a}{b}) > 0$, оба слагаемых являются положительными числами: $x = \frac{5a}{3b} = \frac{5}{3} \cdot \frac{a}{b} > 0$ и $y = \frac{12b}{5a} = \frac{12}{5} \cdot \frac{b}{a} > 0$.

Для доказательства неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенством Коши) для двух положительных чисел. Оно гласит, что сумма двух положительных чисел не меньше удвоенного квадратного корня из их произведения: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство к нашим слагаемым: $\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a} \ge 2\sqrt{\frac{5a}{3b} \cdot \frac{12b}{5a}}$.

Теперь упростим выражение под корнем в правой части неравенства. Так как по условию $a \neq 0$ и $b \neq 0$ (иначе дроби не определены), мы можем сократить переменные $a$ и $b$: $2\sqrt{\frac{5a}{3b} \cdot \frac{12b}{5a}} = 2\sqrt{\frac{5 \cdot 12 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 5 \cdot b \cdot a}} = 2\sqrt{\frac{60 \cdot ab}{15 \cdot ab}} = 2\sqrt{\frac{60}{15}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a} \ge 4$, что и требовалось.

Равенство в данном неравенстве достигается в том случае, когда слагаемые равны друг другу: $\frac{5a}{3b} = \frac{12b}{5a}$. Отсюда следует, что $25a^2 = 36b^2$, или $\frac{a^2}{b^2} = \frac{36}{25}$. Поскольку $a$ и $b$ — числа одного знака, их отношение положительно, следовательно, $\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$.

Ответ: Неравенство $\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a} \ge 4$ доказано.