Номер 35.61, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.61, страница 200.

Условие.

35.61 $a^3 + 1 \ge a^2 + a$, если $a \ge -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать неравенство $a^3 + 1 \ge a^2 + a$ при условии $a \ge -1$, преобразуем его. Перенесём все члены из правой части в левую, изменив их знаки:

$a^3 + 1 - a^2 - a \ge 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители:

$(a^3 - a^2) + (1 - a) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, а из второй -1, чтобы получить одинаковый множитель в скобках:

$a^2(a - 1) - 1(a - 1) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a^2 - 1)(a - 1) \ge 0$

Первый множитель $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(a - 1)(a + 1)(a - 1) \ge 0$

Объединив множители $(a - 1)$, получаем:

$(a - 1)^2 (a + 1) \ge 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство с учётом заданного условия $a \ge -1$.

Выражение $(a - 1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Рассмотрим второй множитель $(a + 1)$. Согласно условию, $a \ge -1$. Прибавив 1 к обеим частям этого неравенства, получим $a + 1 \ge 0$. Таким образом, второй множитель также неотрицателен.

Мы имеем произведение двух неотрицательных множителей: $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(a + 1) \ge 0$. Произведение неотрицательных чисел всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - 1)^2 (a + 1) \ge 0$ истинно для всех $a \ge -1$.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^3 + 1 \ge a^2 + a$ верно при $a \ge -1$.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к виду $(a - 1)^2 (a + 1) \ge 0$, который является верным при $a \ge -1$.