Номер 35.51, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.51, страница 199.

Условие.

35.51 a) $a = \sqrt{37} - \sqrt{14}, b = 6 - \sqrt{15}$;

в) $a = \sqrt{17} - \sqrt{15}, b = \sqrt{7} - \sqrt{5}$;

б) $a = \sqrt{11} - \sqrt{10}, b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$;

г) $a = \sqrt{10} - \sqrt{7}, b = \sqrt{11} - \sqrt{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сравним числа $a = \sqrt{37} - \sqrt{14}$ и $b = 6 - \sqrt{15}$.

Оба числа положительны, так как $\sqrt{37} > \sqrt{14}$ (поскольку $37 > 14$) и $6 = \sqrt{36} > \sqrt{15}$ (поскольку $36 > 15$). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем сравнить их квадраты. Если $a^2 > b^2$, то и $a > b$.

Возведем оба числа в квадрат:

$a^2 = (\sqrt{37} - \sqrt{14})^2 = (\sqrt{37})^2 - 2\sqrt{37 \cdot 14} + (\sqrt{14})^2 = 37 - 2\sqrt{518} + 14 = 51 - 2\sqrt{518}$.

$b^2 = (6 - \sqrt{15})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 36 - 12\sqrt{15} + 15 = 51 - 12\sqrt{15}$.

Представим $12\sqrt{15}$ в виде $2\sqrt{k}$: $12\sqrt{15} = 2 \cdot 6\sqrt{15} = 2\sqrt{36 \cdot 15} = 2\sqrt{540}$.

Теперь сравним $a^2 = 51 - 2\sqrt{518}$ и $b^2 = 51 - 2\sqrt{540}$. Для этого достаточно сравнить выражения $2\sqrt{518}$ и $2\sqrt{540}$.

Так как $518 < 540$, то $\sqrt{518} < \sqrt{540}$.

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-2\sqrt{518} > -2\sqrt{540}$.

Прибавим 51 к обеим частям: $51 - 2\sqrt{518} > 51 - 2\sqrt{540}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$. Так как $a$ и $b$ положительны, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Сравним числа $a = \sqrt{11} - \sqrt{10}$ и $b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$.

Оба числа положительны. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ при $x > 0$.

Преобразуем выражение для функции, домножив и разделив на сопряженное выражение:

$f(x) = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$.

С увеличением $x$, знаменатель $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ увеличивается, следовательно, значение дроби уменьшается. Таким образом, функция $f(x)$ является убывающей.

Наши числа можно представить в виде значений этой функции:

$a = \sqrt{11} - \sqrt{10} = f(10)$.

$b = \sqrt{6} - \sqrt{5} = f(5)$.

Поскольку $10 > 5$ и функция $f(x)$ убывающая, то $f(10) < f(5)$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \sqrt{17} - \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{7} - \sqrt{5}$.

Оба числа положительны. Преобразуем оба выражения, домножив и разделив на сопряженные им выражения:

$a = \sqrt{17} - \sqrt{15} = \frac{(\sqrt{17} - \sqrt{15})(\sqrt{17} + \sqrt{15})}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} = \frac{17-15}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{17} + \sqrt{15}}$.

$b = \sqrt{7} - \sqrt{5} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{7-5}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми числителями (равными 2). Та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше.

Сравним знаменатели: $\sqrt{17} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{5}$.

Так как $17 > 7$, то $\sqrt{17} > \sqrt{7}$.

Так как $15 > 5$, то $\sqrt{15} > \sqrt{5}$.

Складывая эти два неравенства, получаем: $\sqrt{17} + \sqrt{15} > \sqrt{7} + \sqrt{5}$.

Поскольку знаменатель первой дроби больше знаменателя второй, а числители равны, то первая дробь меньше второй.

Следовательно, $\frac{2}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} < \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$, что означает $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{11} - \sqrt{6}$.

Оба числа положительны, так как $\sqrt{10} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} > \sqrt{6}$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем сравнить их квадраты.

Возведем оба числа в квадрат:

$a^2 = (\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 7} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$.

$b^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{11 \cdot 6} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$.

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$. Для этого сравним выражения $17 - 2\sqrt{70}$ и $17 - 2\sqrt{66}$.

Это эквивалентно сравнению $-2\sqrt{70}$ и $-2\sqrt{66}$.

Сравним подкоренные выражения: $70 > 66$, следовательно $\sqrt{70} > \sqrt{66}$.

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-2\sqrt{70} < -2\sqrt{66}$.

Прибавим 17 к обеим частям: $17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$. Так как $a$ и $b$ положительны, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.