Номер 35.50, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.50, страница 199.

Условие.

35.50 a) $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$, $b = \sqrt{5} + 2$;

б) $a = 2 + \sqrt{11}$, $b = \sqrt{5} + \sqrt{10}$;

в) $a = \sqrt{7} + \sqrt{5}$, $b = 3 + \sqrt{3}$;

г) $a = \sqrt{3} + \sqrt{15}$, $b = 4 + \sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сравнить числа $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5} + 2$, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительные. Знак неравенства между их квадратами будет таким же, как и между самими числами.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.

Теперь нужно сравнить $a^2 = 9 + 2\sqrt{14}$ и $b^2 = 9 + 4\sqrt{5}$. Для этого сравним $2\sqrt{14}$ и $4\sqrt{5}$.

Возведем оба этих числа в квадрат (они тоже положительные):

$(2\sqrt{14})^2 = 4 \cdot 14 = 56$.

$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.

Так как $56 < 80$, то $2\sqrt{14} < 4\sqrt{5}$.

Следовательно, $9 + 2\sqrt{14} < 9 + 4\sqrt{5}$, что означает $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = 2 + \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{5} + \sqrt{10}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (2 + \sqrt{11})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$.

Теперь сравним $a^2 = 15 + 4\sqrt{11}$ и $b^2 = 15 + 2\sqrt{50}$. Отбросим общее слагаемое 15 и сравним $4\sqrt{11}$ и $2\sqrt{50}$.

Чтобы их сравнить, возведем оба числа в квадрат:

$(4\sqrt{11})^2 = 16 \cdot 11 = 176$.

$(2\sqrt{50})^2 = 4 \cdot 50 = 200$.

Так как $176 < 200$, то $4\sqrt{11} < 2\sqrt{50}$.

Следовательно, $15 + 4\sqrt{11} < 15 + 2\sqrt{50}$, что означает $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ и $b = 3 + \sqrt{3}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (3 + \sqrt{3})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$.

Теперь сравним $a^2 = 12 + 2\sqrt{35}$ и $b^2 = 12 + 6\sqrt{3}$. Отбросим общее слагаемое 12 и сравним $2\sqrt{35}$ и $6\sqrt{3}$.

Разделим оба выражения на 2, чтобы упростить сравнение: $\sqrt{35}$ и $3\sqrt{3}$.

Возведем оба положительных выражения в квадрат:

$(\sqrt{35})^2 = 35$.

$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.

Так как $35 > 27$, то $\sqrt{35} > 3\sqrt{3}$, и, соответственно, $2\sqrt{35} > 6\sqrt{3}$.

Следовательно, $12 + 2\sqrt{35} > 12 + 6\sqrt{3}$, что означает $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{3} + \sqrt{15}$ и $b = 4 + \sqrt{2}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{15})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 3 + 2\sqrt{45} + 15 = 18 + 2\sqrt{45}$.

Упростим корень: $2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Итак, $a^2 = 18 + 6\sqrt{5}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (4 + \sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$.

Теперь сравним $a^2 = 18 + 6\sqrt{5}$ и $b^2 = 18 + 8\sqrt{2}$. Отбросим общее слагаемое 18 и сравним $6\sqrt{5}$ и $8\sqrt{2}$.

Разделим оба выражения на 2 для упрощения: $3\sqrt{5}$ и $4\sqrt{2}$.

Возведем оба положительных выражения в квадрат:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Так как $45 > 32$, то $3\sqrt{5} > 4\sqrt{2}$, и, соответственно, $6\sqrt{5} > 8\sqrt{2}$.

Следовательно, $18 + 6\sqrt{5} > 18 + 8\sqrt{2}$, что означает $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.