Номер 35.43, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.43, страница 198.

Условие.

35.43 a) $(7 + 2d)(7 - 2d) < 49 - d(4d + 1), \text{ где } d < 0;$

б) $(2q - 3)(q - 3) > (q - 1)(q - 8).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Решим неравенство $(7 + 2d)(7 - 2d) < 49 - d(4d + 1)$ при условии $d < 0$.

Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(7 + 2d)(7 - 2d) = 7^2 - (2d)^2 = 49 - 4d^2$.

Теперь преобразуем правую часть неравенства, раскрыв скобки:

$49 - d(4d + 1) = 49 - d \cdot 4d - d \cdot 1 = 49 - 4d^2 - d$.

Подставим преобразованные части обратно в исходное неравенство:

$49 - 4d^2 < 49 - 4d^2 - d$.

Прибавим к обеим частям неравенства выражение $4d^2$:

$49 - 4d^2 + 4d^2 < 49 - 4d^2 - d + 4d^2$.

$49 < 49 - d$.

Вычтем из обеих частей число 49:

$49 - 49 < 49 - d - 49$.

$0 < -d$.

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$0 \cdot (-1) > -d \cdot (-1)$.

$0 > d$, или $d < 0$.

Полученное решение $d < 0$ полностью совпадает с условием, данным в задаче. Это означает, что исходное неравенство верно для всех значений $d$, удовлетворяющих этому условию.

Ответ: $d \in (-\infty; 0)$.

б)

Решим неравенство $(2q - 3)(q - 3) > (q - 1)(q - 8)$.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(2q - 3)(q - 3) = 2q \cdot q + 2q \cdot (-3) - 3 \cdot q - 3 \cdot (-3) = 2q^2 - 6q - 3q + 9 = 2q^2 - 9q + 9$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$(q - 1)(q - 8) = q \cdot q + q \cdot (-8) - 1 \cdot q - 1 \cdot (-8) = q^2 - 8q - q + 8 = q^2 - 9q + 8$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$2q^2 - 9q + 9 > q^2 - 9q + 8$.

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$2q^2 - 9q + 9 - q^2 + 9q - 8 > 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2q^2 - q^2) + (-9q + 9q) + (9 - 8) > 0$.

$q^2 + 0q + 1 > 0$.

$q^2 + 1 > 0$.

Проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого действительного числа $q$ является неотрицательным, то есть $q^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным:

$q^2 + 1 \ge 0 + 1$, следовательно $q^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то неравенство $q^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного значения $q$.

Ответ: $q \in (-\infty; +\infty)$.