Номер 35.39, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.39, страница 198.

Условие.

Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство:

35.39 a) $3(x + 1) + x < 4(2 + x);$

б) $m(m + n) \geq mn;$

в) $2y^2 - 6y + 1 > 2y(y - 3);$

г) $c^2 - d^2 \geq -2d^2 - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать неравенство $3(x + 1) + x < 4(2 + x)$, выполним тождественные преобразования.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$3x + 3 + x < 8 + 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x + 3 < 8 + 4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 4x < 8 - 3$
Упростим выражение:
$0 < 5$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любых значениях $x$.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $m(m + n) \ge mn$, преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки:
$m^2 + mn \ge mn$
Перенесем слагаемое $mn$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$m^2 + mn - mn \ge 0$
Упростим выражение:
$m^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа $m$ всегда является неотрицательным числом (то есть больше или равен нулю). Полученное неравенство справедливо при любом значении $m$ и не зависит от $n$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях переменных.
Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $2y^2 - 6y + 1 > 2y(y - 3)$, преобразуем его.
Раскроем скобки в правой части:
$2y^2 - 6y + 1 > 2y^2 - 6y$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$2y^2 - 6y + 1 - 2y^2 + 6y > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2y^2 - 2y^2) + (-6y + 6y) + 1 > 0$
$0 + 0 + 1 > 0$
$1 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любых значениях $y$.
Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $c^2 - d^2 \ge -2d^2 - 1$, перенесем все слагаемые в левую часть.
$c^2 - d^2 + 2d^2 + 1 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$c^2 + d^2 + 1 \ge 0$
Рассмотрим левую часть полученного неравенства. Выражение $c^2$ всегда неотрицательно, то есть $c^2 \ge 0$ для любого $c$. Аналогично, $d^2 \ge 0$ для любого $d$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $c^2 + d^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному выражению $c^2 + d^2$ прибавить 1, результат будет строго положительным:
$c^2 + d^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $c^2 + d^2 + 1 \ge 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство $c^2 + d^2 + 1 \ge 0$ справедливо при любых значениях переменных $c$ и $d$.
Ответ: Доказано.