Номер 35.41, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.41, страница 198.

Условие.

35.41 а) $2x > 2(x - 4) - a^2$;

б) $z(z + 1) + 5 \ge 1 - 3z$;

в) $4y^2 - 3y \ge 9(y - 1)$;

г) $t(t + 5) - 3 \ge 3t - 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Раскроем скобки в правой части неравенства $2x > 2(x - 4) - a^2$:
$2x > 2x - 8 - a^2$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а остальные — в правую. В данном случае слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются:
$2x - 2x > -8 - a^2$
$0 > -8 - a^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить более наглядное выражение:
$a^2 + 8 > 0$
Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то сумма $a^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8 ($a^2 + 8 \ge 8$). Поскольку $8 > 0$, неравенство $a^2 + 8 > 0$ справедливо при любых значениях параметра $a$.
Следовательно, исходное неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $z(z + 1) + 5 \ge 1 - 3z$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$z^2 + z + 5 - 1 + 3z \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$z^2 + 4z + 4 \ge 0$
Заметим, что левая часть является полным квадратом суммы:
$(z + 2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Таким образом, это неравенство выполняется при любом действительном значении $z$.
Ответ: $z \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $4y^2 - 3y \ge 9(y - 1)$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$4y^2 - 3y - 9(y-1) \ge 0$
$4y^2 - 3y - 9y + 9 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4y^2 - 12y + 9 \ge 0$
Левая часть представляет собой полный квадрат разности:
$(2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2 \ge 0$
$(2y - 3)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $y$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $t(t + 5) - 3 \ge 3t - 4$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$t^2 + 5t - 3 - 3t + 4 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 2t + 1 \ge 0$
Левая часть является полным квадратом суммы:
$(t + 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $t$.
Ответ: $t \in (-\infty; +\infty)$.