Номер 35.47, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 35. Числовые неравенства. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 35.47, страница 199.

Условие.

35.47 а) $(s - 4)(2 - s) < 2;$

б) $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0;$

в) $(a + 1)(3 - a) < 5;$

г) $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано неравенство $(s - 4)(2 - s) < 2$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$2s - s^2 - 8 + 4s < 2$

2. Приведем подобные слагаемые:

$-s^2 + 6s - 8 < 2$

3. Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$-s^2 + 6s - 8 - 2 < 0$

$-s^2 + 6s - 10 < 0$

4. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным:

$s^2 - 6s + 10 > 0$

5. Теперь проанализируем квадратный трехчлен $s^2 - 6s + 10$. Графиком функции $y = s^2 - 6s + 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $s^2$ равен 1, что больше 0). Найдем дискриминант, чтобы определить наличие корней:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $s^2 - 6s + 10$ всегда положительно при любом действительном значении $s$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$s^2 - 6s + 10 = (s^2 - 2 \cdot s \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (s - 3)^2 - 9 + 10 = (s - 3)^2 + 1$

Так как $(s - 3)^2 \geq 0$ для любого $s$, то $(s - 3)^2 + 1 \geq 1$. Таким образом, выражение $(s - 3)^2 + 1$ всегда строго больше 0.

Неравенство $s^2 - 6s + 10 > 0$ верно для всех действительных чисел $s$.

Ответ: $s \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0$.

1. Рассмотрим левую часть как квадратный трехчлен относительно переменной $z$ и выделим полный квадрат:

$z^2 + 6zt + 10t^2 = (z^2 + 2 \cdot z \cdot (3t) + (3t)^2) - (3t)^2 + 10t^2$

$= (z + 3t)^2 - 9t^2 + 10t^2$

$= (z + 3t)^2 + t^2$

2. Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух квадратов: $(z + 3t)^2$ и $t^2$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому:

$(z + 3t)^2 \geq 0$ для любых действительных $z$ и $t$.

$t^2 \geq 0$ для любого действительного $t$.

3. Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна:

$(z + 3t)^2 + t^2 \geq 0$

Таким образом, исходное неравенство $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных значений $z$ и $t$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, то есть при $t=0$ и $z+3t=0$, что дает решение $z=0, t=0$.

Ответ: неравенство верно для любых действительных чисел $z$ и $t$.

в)

Дано неравенство $(a + 1)(3 - a) < 5$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$3a - a^2 + 3 - a < 5$

2. Приведем подобные слагаемые:

$-a^2 + 2a + 3 < 5$

3. Перенесем все члены в левую часть:

$-a^2 + 2a + 3 - 5 < 0$

$-a^2 + 2a - 2 < 0$

4. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 2a + 2 > 0$

5. Проанализируем квадратный трехчлен $a^2 - 2a + 2$. Графиком функции $y = a^2 - 2a + 2$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $a^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Так как $D < 0$, у трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс и, поскольку ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси. Следовательно, $a^2 - 2a + 2$ всегда положительно.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a - 1)^2 + 1$

Так как $(a - 1)^2 \geq 0$ для любого $a$, то $(a - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0$.

Неравенство $a^2 - 2a + 2 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0$.

1. Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $m$:

$m^2 - 12mn + 40n^2 = (m^2 - 2 \cdot m \cdot (6n) + (6n)^2) - (6n)^2 + 40n^2$

$= (m - 6n)^2 - 36n^2 + 40n^2$

$= (m - 6n)^2 + 4n^2$

2. Полученное выражение $(m - 6n)^2 + 4n^2$ представляет собой сумму двух квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$.

Выражение $(m - 6n)^2$ всегда неотрицательно: $(m - 6n)^2 \geq 0$.

Выражение $4n^2$ также всегда неотрицательно: $4n^2 \geq 0$.

3. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна:

$(m - 6n)^2 + 4n^2 \geq 0$

Таким образом, исходное неравенство $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0$ верно для любых действительных значений $m$ и $n$. Равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $m-6n=0$ и $4n^2=0$. Из второго уравнения получаем $n=0$, подставляя в первое, находим $m=0$.

Ответ: неравенство верно для любых действительных чисел $m$ и $n$.