Страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

33.21 a) $\sqrt{4 - 2x} + \sqrt{2 + x} = \sqrt{2x}$;

б) $\sqrt{x + 7} = \sqrt{3x + 19} - \sqrt{x + 2}$;

в) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} = 2\sqrt{x}$;

г) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{6x - 11}.

а) $\sqrt{4-2x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• $4-2x \ge 0 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2$
• $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$
• $2x \ge 0 \implies x \ge 0$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4-2x} + \sqrt{2+x})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(4-2x) + 2\sqrt{(4-2x)(2+x)} + (2+x) = 2x$
$6-x + 2\sqrt{8+4x-4x-2x^2} = 2x$
$6-x + 2\sqrt{8-2x^2} = 2x$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{8-2x^2} = 2x - (6-x)$
$2\sqrt{8-2x^2} = 3x-6$

Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной:
$3x-6 \ge 0 \implies 3x \ge 6 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($0 \le x \le 2$), единственное возможное значение для $x$ - это $x=2$. Проверим его.

4. Продолжим решение, возведя обе части последнего уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{8-2x^2})^2 = (3x-6)^2$
$4(8-2x^2) = 9x^2 - 36x + 36$
$32 - 8x^2 = 9x^2 - 36x + 36$
$17x^2 - 36x + 4 = 0$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 4 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36 - 32}{2 \cdot 17} = \frac{4}{34} = \frac{2}{17}$
$x_2 = \frac{36 + 32}{2 \cdot 17} = \frac{68}{34} = 2$

6. Проверим найденные корни.
Корень $x_1 = 2/17$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет и ОДЗ, и условию $x \ge 2$. Подставим его в исходное уравнение:
$\sqrt{4-2(2)} + \sqrt{2+2} = \sqrt{2(2)}$
$\sqrt{0} + \sqrt{4} = \sqrt{4}$
$0 + 2 = 2$
$2=2$. Верно.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x+7} = \sqrt{3x+19} - \sqrt{x+2}$

1. Перенесем один из корней в левую часть для удобства:
$\sqrt{x+7} + \sqrt{x+2} = \sqrt{3x+19}$

2. Найдем ОДЗ:

• $x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$
• $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
• $3x+19 \ge 0 \implies 3x \ge -19 \implies x \ge -19/3$

Общее ОДЗ: $x \ge -2$.

3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+7} + \sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x+19})^2$
$(x+7) + 2\sqrt{(x+7)(x+2)} + (x+2) = 3x+19$
$2x+9 + 2\sqrt{x^2+9x+14} = 3x+19$

4. Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+9x+14} = 3x+19 - (2x+9)$
$2\sqrt{x^2+9x+14} = x+10$

Правая часть должна быть неотрицательной: $x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$. Это условие не сужает наше ОДЗ ($x \ge -2$).

5. Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+9x+14})^2 = (x+10)^2$
$4(x^2+9x+14) = x^2+20x+100$
$4x^2+36x+56 = x^2+20x+100$
$3x^2+16x-44=0$

6. Решим квадратное уравнение:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2$
$x_1 = \frac{-16 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$
$x_2 = \frac{-16 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

7. Проверим корни.
Корень $x_1 = -22/3 \approx -7.33$ не входит в ОДЗ ($x \ge -2$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ входит в ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2+7} = \sqrt{3(2)+19} - \sqrt{2+2}$
$\sqrt{9} = \sqrt{25} - \sqrt{4}$
$3 = 5 - 2$
$3=3$. Верно.

Ответ: $2$

в) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$

1. Найдем ОДЗ:

• $3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$
• $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
• $x \ge 0$

Общее ОДЗ: $x \ge 4$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$
$(3x+1) + 2\sqrt{(3x+1)(x-4)} + (x-4) = 4x$
$4x-3 + 2\sqrt{3x^2-11x-4} = 4x$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{3x^2-11x-4} = 4x - (4x-3)$
$2\sqrt{3x^2-11x-4} = 3$

4. Снова возведем в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2-11x-4})^2 = 3^2$
$4(3x^2-11x-4) = 9$
$12x^2-44x-16 = 9$
$12x^2-44x-25 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-25) = 1936 + 1200 = 3136 = 56^2$
$x_1 = \frac{44 - 56}{2 \cdot 12} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{44 + 56}{2 \cdot 12} = \frac{100}{24} = \frac{25}{6}$

6. Проверим корни.
Корень $x_1 = -1/2$ не входит в ОДЗ ($x \ge 4$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 25/6 = 4 \frac{1}{6}$ входит в ОДЗ. Проверим подстановкой:
$\sqrt{3(\frac{25}{6})+1} + \sqrt{\frac{25}{6}-4} = 2\sqrt{\frac{25}{6}}$
$\sqrt{\frac{25}{2}+1} + \sqrt{\frac{25-24}{6}} = 2\frac{5}{\sqrt{6}}$
$\sqrt{\frac{27}{2}} + \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\sqrt{\frac{81}{6}} + \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\frac{9}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$. Верно.

Ответ: $\frac{25}{6}$

г) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{6x-11}$

1. Найдем ОДЗ:

• $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
• $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
• $6x-11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge 11/6 \approx 1.83$

Общее ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{6x-11})^2$
$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3) = 6x-11$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2+x-6} = 6x-11$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+x-6} = 6x-11 - (2x+1)$
$2\sqrt{x^2+x-6} = 4x-12$
$\sqrt{x^2+x-6} = 2x-6$

Правая часть должна быть неотрицательной: $2x-6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ, новое, более строгое условие: $x \ge 3$.

4. Снова возведем в квадрат:
$(\sqrt{x^2+x-6})^2 = (2x-6)^2$
$x^2+x-6 = 4x^2 - 24x + 36$
$3x^2-25x+42=0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

6. Проверим корни.
Корень $x_1 = 7/3 \approx 2.33$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6-2} + \sqrt{6+3} = \sqrt{6(6)-11}$
$\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{36-11}$
$2 + 3 = \sqrt{25}$
$5=5$. Верно.

Ответ: $6$

33.22 a) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12};$

б) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{4x + 13} = \sqrt{3x + 12};$

в) $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{5x + 6} = \sqrt{12x + 25};$

г) $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{4 - x} = \sqrt{7 - x}.$

а) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$9-x \ge 0 \implies x \le 9$
$2x-12 \ge 0 \implies 2x \ge 12 \implies x \ge 6$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [6, 9]$.

2. Также необходимо учесть, что правая часть уравнения $\sqrt{2x-12}$ неотрицательна, поэтому и левая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0$. Это равносильно $\sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x}$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $x+1 \ge 9-x$, откуда $2x \ge 8$, то есть $x \ge 4$. Это условие не сужает найденную ОДЗ, так как $x \ge 6$ уже включает $x \ge 4$.

3. Перенесем корень $\sqrt{9-x}$ в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат было меньше слагаемых со знаком минус: $\sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x}$.

4. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x})^2$

$x+1 = (2x-12) + (9-x) + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$

$x+1 = x-3 + 2\sqrt{-2x^2 + 18x + 12x - 108}$

$x+1 = x-3 + 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$

5. Упростим уравнение и уединим оставшийся корень:

$4 = 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$

$2 = \sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$

6. Снова возведем обе части в квадрат:

$4 = -2x^2 + 30x - 108$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$x^2 - 15x + 56 = 0$

7. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 56. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = 8$.

8. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in [6, 9]$. Оба корня, 7 и 8, принадлежат этому промежутку, значит, они могут быть решениями.

9. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

При $x=7$: $\sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Правая часть: $\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$. Равенство $\sqrt{2} = \sqrt{2}$ верно.

При $x=8$: $\sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1=2$. Правая часть: $\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$. Равенство $2 = 2$ верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 7; 8.

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt{4x+13} = \sqrt{3x+12}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$4x+13 \ge 0 \implies 4x \ge -13 \implies x \ge -3.25$
$3x+12 \ge 0 \implies 3x \ge -12 \implies x \ge -4$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{4x+13})^2 = (\sqrt{3x+12})^2$

$(x+1) + (4x+13) + 2\sqrt{(x+1)(4x+13)} = 3x+12$

$5x + 14 + 2\sqrt{4x^2 + 17x + 13} = 3x+12$

3. Уединим корень в левой части:

$2\sqrt{4x^2 + 17x + 13} = (3x+12) - (5x+14)$

$2\sqrt{4x^2 + 17x + 13} = -2x - 2$

$\sqrt{4x^2 + 17x + 13} = -x - 1$

4. Левая часть уравнения $\sqrt{4x^2 + 17x + 13}$ по определению корня неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-x - 1 \ge 0$, что означает $-x \ge 1$, или $x \le -1$.

5. Мы получили два условия для $x$: $x \ge -1$ (из ОДЗ) и $x \le -1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = -1$.

6. Проверим, является ли $x=-1$ корнем исходного уравнения. Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{-1+1} + \sqrt{4(-1)+13} = \sqrt{3(-1)+12}$

$\sqrt{0} + \sqrt{-4+13} = \sqrt{-3+12}$

$0 + \sqrt{9} = \sqrt{9}$

$3 = 3$.

Равенство верное, следовательно, $x=-1$ является единственным решением.

Ответ: -1.

в) $\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{12x+25}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$
$5x+6 \ge 0 \implies 5x \ge -6 \implies x \ge -1.2$
$12x+25 \ge 0 \implies 12x \ge -25 \implies x \ge -25/12 \approx -2.08$

Пересечение всех условий дает ОДЗ: $x \ge -1.2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6})^2 = (\sqrt{12x+25})^2$

$(2x+5) + (5x+6) + 2\sqrt{(2x+5)(5x+6)} = 12x+25$

$7x + 11 + 2\sqrt{10x^2 + 12x + 25x + 30} = 12x+25$

$7x + 11 + 2\sqrt{10x^2 + 37x + 30} = 12x+25$

3. Уединим корень:

$2\sqrt{10x^2 + 37x + 30} = (12x+25) - (7x+11)$

$2\sqrt{10x^2 + 37x + 30} = 5x+14$

4. Правая часть $5x+14$ должна быть неотрицательной: $5x+14 \ge 0 \implies x \ge -14/5 = -2.8$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ ($x \ge -1.2$).

5. Снова возводим в квадрат:

$(2\sqrt{10x^2 + 37x + 30})^2 = (5x+14)^2$

$4(10x^2 + 37x + 30) = 25x^2 + 140x + 196$

$40x^2 + 148x + 120 = 25x^2 + 140x + 196$

6. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15x^2 + 8x - 76 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(15)(-76) = 64 + 4560 = 4624 = 68^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 68}{2 \cdot 15} = \frac{-8 \pm 68}{30}$

$x_1 = \frac{-8+68}{30} = \frac{60}{30} = 2$

$x_2 = \frac{-8-68}{30} = \frac{-76}{30} = -\frac{38}{15} \approx -2.53$

8. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1.2$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1.2$.

Корень $x_2 = -38/15 \approx -2.53$ не удовлетворяет условию $-2.53 \ge -1.2$, поэтому это посторонний корень.

9. Проверим единственный подходящий корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(2)+5} + \sqrt{5(2)+6} = \sqrt{12(2)+25}$

$\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{49}$

$3 + 4 = 7$

$7 = 7$.

Равенство верное, значит, $x=2$ является решением.

Ответ: 2.

г) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{4-x} = \sqrt{7-x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$
$4-x \ge 0 \implies x \le 4$
$7-x \ge 0 \implies x \le 7$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [-1.5, 4]$.

2. Перенесем корень $\sqrt{4-x}$ в правую часть:

$\sqrt{2x+3} = \sqrt{7-x} + \sqrt{4-x}$

3. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (\sqrt{7-x} + \sqrt{4-x})^2$

$2x+3 = (7-x) + (4-x) + 2\sqrt{(7-x)(4-x)}$

$2x+3 = 11 - 2x + 2\sqrt{x^2 - 11x + 28}$

4. Уединим оставшийся корень:

$2x+3 - (11-2x) = 2\sqrt{x^2 - 11x + 28}$

$4x - 8 = 2\sqrt{x^2 - 11x + 28}$

$2x - 4 = \sqrt{x^2 - 11x + 28}$

5. Левая часть $2x-4$ должна быть неотрицательной: $2x-4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$.

6. Объединим это условие с ОДЗ: $x \in [-1.5, 4]$ и $x \ge 2$. Получаем итоговый промежуток для корней: $x \in [2, 4]$.

7. Снова возводим в квадрат обе части уравнения $2x - 4 = \sqrt{x^2 - 11x + 28}$:

$(2x - 4)^2 = x^2 - 11x + 28$

$4x^2 - 16x + 16 = x^2 - 11x + 28$

8. Переносим все в левую часть и решаем квадратное уравнение:

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

$D = (-5)^2 - 4(3)(-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$x = \frac{5 \pm 13}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 13}{6}$

$x_1 = \frac{5+13}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{5-13}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

9. Проверяем корни на принадлежность промежутку $x \in [2, 4]$.

Корень $x_1 = 3$ принадлежит этому промежутку.

Корень $x_2 = -4/3 \approx -1.33$ не принадлежит этому промежутку, значит, это посторонний корень.

10. Проверим корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(3)+3} - \sqrt{4-3} = \sqrt{7-3}$

$\sqrt{9} - \sqrt{1} = \sqrt{4}$

$3 - 1 = 2$

$2 = 2$.

Равенство верное, значит, $x=3$ является решением.

Ответ: 3.

Решите уравнение:

33.23 а) $ (x^2 + 1) + 2\sqrt{x^2 + 1} = 15; $

б) $ \sqrt{x - 2} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} + 2 = 0; $

в) $ 2(x^2 - 9) + 3\sqrt{x^2 - 9} - 5 = 0; $

г) $ \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\sqrt{x - 1} - 4} = \frac{\sqrt{x - 1} - 6}{\sqrt{x - 1} - 7}. $

а) Исходное уравнение: $(x^2 + 1) + 2\sqrt{x^2 + 1} = 15$.
Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x^2 + 1}$ и его квадрат $(x^2 + 1)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 1 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 + 1}$. Так как $x^2 + 1 \ge 1$, то $t = \sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$.
После замены исходное уравнение принимает вид: $t^2 + 2t = 15$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 15 = 0$.
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета: произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -15$, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$. Отсюда находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 1$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 1$.
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 1$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t = 3$:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 + 1 = 3^2$.
$x^2 + 1 = 9$.
$x^2 = 8$.
$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} + 2 = 0$.
Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{x - 2} \ne 0$, что означает $x - 2 \ne 0$, или $x \ne 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 2}$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение: $t - \frac{3}{t} + 2 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 3 + 2t = 0$.
Запишем в стандартном виде: $t^2 + 2t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -3$ и $t_1 + t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > 0$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 1$:
$\sqrt{x - 2} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 2 = 1^2$.
$x - 2 = 1$.
$x = 3$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 2$). $3 > 2$, значит, корень подходит.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $2(x^2 - 9) + 3\sqrt{x^2 - 9} - 5 = 0$.
Определим ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным. $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9$. Это неравенство выполняется при $x \ge 3$ или $x \le -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 - 9}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.
Тогда $x^2 - 9 = t^2$. Подставим в уравнение:
$2t^2 + 3t - 5 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
Корень $t_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию $-2.5 \ge 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 1$:
$\sqrt{x^2 - 9} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 9 = 1^2$.
$x^2 - 9 = 1$.
$x^2 = 10$.
$x = \pm\sqrt{10}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. $\sqrt{10} \approx 3.16$, что больше 3. $-\sqrt{10} \approx -3.16$, что меньше -3. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\sqrt{10}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\sqrt{x - 1} - 4} = \frac{\sqrt{x - 1} - 6}{\sqrt{x - 1} - 7}$.
Определим ОДЗ.
1. По-первых, выражение под корнем: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Во-вторых, знаменатели не должны быть равны нулю:
$\sqrt{x - 1} - 4 \ne 0 \implies \sqrt{x - 1} \ne 4 \implies x - 1 \ne 16 \implies x \ne 17$.
$\sqrt{x - 1} - 7 \ne 0 \implies \sqrt{x - 1} \ne 7 \implies x - 1 \ne 49 \implies x \ne 50$.
Итак, ОДЗ: $x \in [1, 17) \cup (17, 50) \cup (50, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$, $t \ne 4$, $t \ne 7$.
Уравнение принимает вид: $\frac{t - 2}{t - 4} = \frac{t - 6}{t - 7}$.
Это пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(t - 2)(t - 7) = (t - 6)(t - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$t^2 - 7t - 2t + 14 = t^2 - 4t - 6t + 24$.
$t^2 - 9t + 14 = t^2 - 10t + 24$.
Вычтем $t^2$ из обеих частей: $-9t + 14 = -10t + 24$.
Перенесем члены с $t$ в левую часть, а константы в правую:
$-9t + 10t = 24 - 14$.
$t = 10$.
Проверим значение $t=10$ на соответствие условиям $t \ge 0$, $t \ne 4$, $t \ne 7$. Все условия выполняются.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x - 1} = 10$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 10^2$.
$x - 1 = 100$.
$x = 101$.
Найденное значение $x=101$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $101$.

33.24 a) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2.5;$

б) $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2.5 = 3\sqrt{1 - \frac{1}{x}};$

в) $\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = \frac{10}{3};$

г) $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе под корнем в другом слагаемом). Таким образом, $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Поскольку корень арифметический, $y > 0$. Тогда второе слагаемое в уравнении равно $\frac{1}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = 2,5$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и решим уравнение относительно $y$:

$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$2y^2 + 2 = 5y$

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни для $y$: $y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = \frac{1}{2}$:

$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2}$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4}$

$4(3x+2) = 1(2x-3)$

$12x + 8 = 2x - 3$

$10x = -11 \implies x_1 = -1,1$.

Проверяем по ОДЗ: $-1,1 < -2/3$, корень подходит.

2. Если $y = 2$:

$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x+2}{2x-3} = 4$

$3x+2 = 4(2x-3)$

$3x+2 = 8x - 12$

$14 = 5x \implies x_2 = \frac{14}{5} = 2,8$.

Проверяем по ОДЗ: $2,8 > 3/2$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = -1,1; x_2 = 2,8$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2,5 = 3\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$.

Сначала преобразуем выражение под вторым корнем: $\sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2,5 = 3\sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

ОДЗ: $\frac{x}{x-1} > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$, где $y > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{x}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение с новой переменной: $y - 2,5 = \frac{3}{y}$.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{y}$

Умножим обе части на $2y$:

$2y^2 - 5y = 6$

$2y^2 - 5y - 6 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 25 + 48 = 73$.

Корни для $y$: $y = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{4}$.

Так как по условию замены $y > 0$, выбираем корень со знаком плюс: $y = \frac{5 + \sqrt{73}}{4}$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{5 + \sqrt{73}}{4}$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-1} = \left(\frac{5 + \sqrt{73}}{4}\right)^2 = \frac{25 + 10\sqrt{73} + 73}{16} = \frac{98 + 10\sqrt{73}}{16} = \frac{49 + 5\sqrt{73}}{8}$.

Решаем полученное уравнение:

$8x = (x-1)(49 + 5\sqrt{73})$

$8x = x(49 + 5\sqrt{73}) - (49 + 5\sqrt{73})$

$49 + 5\sqrt{73} = x(49 + 5\sqrt{73} - 8)$

$49 + 5\sqrt{73} = x(41 + 5\sqrt{73})$

$x = \frac{49 + 5\sqrt{73}}{41 + 5\sqrt{73}}$.

Данное значение $x > 1$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{49 + 5\sqrt{73}}{41 + 5\sqrt{73}}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = \frac{10}{3}$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{2x+1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}$, где $y > 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$.

Умножим обе части на $3y$:

$3y^2 + 3 = 10y$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни: $y_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Оба корня положительны. Выполним обратную замену для каждого.

1. Если $y = \frac{1}{3}$:

$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = \frac{1}{3} \implies \frac{x-1}{2x+1} = \frac{1}{9}$

$9(x-1) = 2x+1 \implies 9x - 9 = 2x + 1 \implies 7x = 10 \implies x_1 = \frac{10}{7}$.

Проверяем по ОДЗ: $10/7 \approx 1.43 > 1$, корень подходит.

2. Если $y = 3$:

$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = 3 \implies \frac{x-1}{2x+1} = 9$

$x-1 = 9(2x+1) \implies x-1 = 18x + 9 \implies -10 = 17x \implies x_2 = -\frac{10}{17}$.

Проверяем по ОДЗ: $-10/17 \approx -0.588 < -0.5$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = \frac{10}{7}; x_2 = -\frac{10}{17}$.

г) Исходное уравнение: $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3$.

Преобразуем первое слагаемое: $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} = 4\sqrt{\frac{3x-1}{x}}$.

Уравнение примет вид: $4\sqrt{\frac{3x-1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3$.

ОДЗ: $\frac{x}{3x-1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (1/3; +\infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{3x-1}}$, где $y > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{3x-1}{x}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид: $4 \cdot \frac{1}{y} - y = 3$.

Умножим на $y$:

$4 - y^2 = 3y$

$y^2 + 3y - 4 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Так как по условию замены $y > 0$, подходит только корень $y=1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 1$

Возводим в квадрат:

$\frac{x}{3x-1} = 1$

$x = 3x-1$

$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

Проверяем по ОДЗ: $1/2 > 1/3$, корень подходит.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

34.1 Для контрольной работы составляют различные квадратные уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Коэффициент $b$ произвольно выбирают из чисел $-2, -4, -6$, а коэффициент $c$ — из чисел $4, 9$.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений.

б) Сколько всего таких уравнений можно составить?

в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю?

г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень?

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений.

Дерево вариантов можно представить в виде следующей структуры, где на первом уровне выбирается коэффициент $b$, а на втором — коэффициент $c$. Каждая конечная "ветвь" дерева соответствует одному уникальному уравнению.

• При выборе $b = -2$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 2x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 2x + 9 = 0$
• При выборе $b = -4$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 4x + 9 = 0$
• При выборе $b = -6$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 6x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$

б) Сколько всего таких уравнений можно составить?

Чтобы найти общее количество возможных уравнений, нужно перемножить количество вариантов выбора для каждого коэффициента. Есть 3 варианта для выбора коэффициента $b$ (числа -2, -4, -6) и 2 варианта для выбора коэффициента $c$ (числа 4, 9).
Следовательно, общее количество уравнений равно произведению числа вариантов:
$3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6 уравнений.

в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю?

Дискриминант $D$ квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, поэтому формула упрощается до $D = b^2 - 4c$. Уравнение имеет ровно один корень, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), то есть когда выполняется равенство $b^2 = 4c$.

Проверим все возможные пары $(b, c)$:

• Если $b = -2$, то $b^2 = 4$. Тогда $4 = 4c \implies c = 1$. Такого значения для $c$ нет.
• Если $b = -4$, то $b^2 = 16$. Тогда $16 = 4c \implies c = 4$. Такое значение для $c$ есть. Уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$.
• Если $b = -6$, то $b^2 = 36$. Тогда $36 = 4c \implies c = 9$. Такое значение для $c$ есть. Уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Таким образом, существует два уравнения с дискриминантом, равным нулю.

Ответ: 2 уравнения.

г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень?

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ не отрицателен, то есть $D \ge 0$. Это означает, что $b^2 - 4c \ge 0$ или $b^2 \ge 4c$.

Давайте проверим это условие для всех 6 возможных уравнений:

1. $b = -2, c = 4$: $D = (-2)^2 - 4(4) = 4 - 16 = -12$. $D < 0$, корней нет.
2. $b = -2, c = 9$: $D = (-2)^2 - 4(9) = 4 - 36 = -32$. $D < 0$, корней нет.
3. $b = -4, c = 4$: $D = (-4)^2 - 4(4) = 16 - 16 = 0$. $D = 0$, есть один корень.
4. $b = -4, c = 9$: $D = (-4)^2 - 4(9) = 16 - 36 = -20$. $D < 0$, корней нет.
5. $b = -6, c = 4$: $D = (-6)^2 - 4(4) = 36 - 16 = 20$. $D > 0$, есть два корня.
6. $b = -6, c = 9$: $D = (-6)^2 - 4(9) = 36 - 36 = 0$. $D = 0$, есть один корень.

Условия $D \ge 0$ выполняются для трех уравнений.

Ответ: 3 уравнения.